Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 78 стр.

      Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (19.11). Ñäåëàåì çàìåíó cos θ = α , è ïîñ-
ëå ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé ïðèäàäèì óðàâíåíèþ (19.11) ñëåäóþùèé âèä:

                              ( 1 − α 2 ) ddPα  + λ − 1 −mα 2  P = 0.
                              
                                                               2
                       d
                                                                                     (19.14)
                      dα                                         
     Ôóíêöèÿ      P (α ) , íàçûâàåìàÿ ïðèñîåäèíåííûì ïîëèíîìîì Ëåæàíä-
ðà, äîëæíà áûòü íåïðåðûâíîé è êîíå÷íîé ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ óãëà θ . Êàê
ïîêàçûâàåòñÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ýòî âîçìîæíî ëèøü
ïðè óñëîâèè, ÷òî
                         λ = l (l + 1) .                     (19.15)
ãäå l ≥ 0 è öåëîå ÷èñëî
     Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.14) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
                                                      l +m
                                          (      )           (
                                                             α 2 − 1) ,
                                                  m
                      Pl (α ) =
                                      1         2 2 d                l
                                            − α
                          m
                                          1                                         (19.16)
                                      l
                                     2 l!           dα  l +m


ïðè ýòîì ïðè çàäàííîì l ÷èñëî m ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü (2l + 1) çíà÷åíèÿ:
             m = -l, -l +1, ...... 0, 1, 2, ..... l-1, l.                           (19.17)

                                                           ∫Ψ        d τ = 1 çàìåíÿåòñÿ äâóìÿ
                                                                 2
Óñëîâèå íîðìèðîâêè èñõîäíîé ôóíêöèè
óñëîâèÿìè íîðìèðîâêè:
             ∞                            π           2π

             ∫ R Rr dr = 1 è              ∫ sin θdθ ∫ Y Ydϕ = 1 .
                •  2                                   •
                                                                                    (19.18)
              0                           0            0




 20. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè

     Êëàññè÷åñêîé âåëè÷èíå-ìîìåíòó êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, â êâàíòîâîé
                                                                                         →
                                                                                         ˆ
ìåõàíèêå ñîïîñòàâëÿåòñÿ îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ                             M.
Íàéäåì ïðàâèëà êîììóòàöèè äëÿ êîìïîíåíò ýòîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîò-
ðèì êîììóòàòîð Mˆ Mˆ − Mˆ Mˆ :
                      x       y       y   x




                                                78