Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 79 стр.

Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x =
         2   ∂   ∂  ∂    ∂          2  ∂   ∂  ∂     ∂ 
= (− ih )  y − z  z − x  − (− ih )  z − x  y − z  =
             ∂z  ∂y  ∂x  ∂z            ∂x  ∂ z  ∂ z ∂y

                                        ∂          ∂ 
                          = (− ih )  y ∂ − x ∂  = ihMˆ z .
                                   2
                                                                      (20.1)
                                      x        y
      Ñîâåðøàÿ öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó èíäåêñîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü åùå
äâà ñîîòíîøåíèÿ:
                               Mˆ y Mˆ z − Mˆ z Mˆ y = ihMˆ x    ,

                                   Mˆ z Mˆ x - Mˆ x Mˆ z = ihMˆ y .   (20.2)
     Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (20.1) è (20.2) óòâåðæäàþò, ÷òî â
îäíîì îïûòå âñå òðè ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îïðåäåëèòü
íåëüçÿ. Ââåäåì îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ :
                          Mˆ 2 = Mˆ 2 x + Mˆ 2 y + Mˆ 2 z .           (20.3)
     Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå ïîëå, òî
öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü,
èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïåðåõîäà:
                          x = r sin θ cos ϕ,
                          y = r sin θ sin ϕ,                          (20.4)
                          z = r cos θ.
     Ñîîòâåòñòâåííî, â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îïåðàòîð ìîìåíòà êî-
ëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è åãî êîìïîíåíòû çàïèøóòñÿ òàê:

                                             ∂               ∂ 
                          Mˆ x = −ih sin ϕ    + ctgθ cos ϕ     ,
                                            ∂θ              ∂ϕ 
                                             ∂               ∂ 
                          Mˆ y = −ih cos ϕ    − ctgθ sin ϕ     ,
                                            ∂θ              ∂ϕ 
                                       ∂                              (20.5)
                          Mˆ z = −ih     .
                                     ∂ϕ
                          Mˆ 2 = −h 2 ∆ .    θ ,ϕ




                                                    79