Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

81
ãäå îïåðàòîð
ϕθ
,
∆
äàåòñÿ ôîðìóëîé (19.3).
Åñëè îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (20.9) ðàçäåëèòü íà -
2
h
, òî óðàâíåíèå
(20.9) ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ (19.8), êîòîðîå èìååò ðåøåíèå ïðè
()
.1
+=
ll
λ
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
()
.1
22
+=
llM h
(20.10)
Âñå, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè-
÷åñòâà äâèæåíèÿ, ñïðàâåäëèâî è îòíîñèòåëüíî êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà: èõ êâàíòîâàíèå çàâèñèò íå îò ñèììåòðèè ïîëÿ, à îáóñëîâëåíî êîðïóñ-
êóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì ÷àñòèö ìèêðîìèðà.
Óñòàíîâèâ ñâîéñòâà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí-êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà è åãî ïðîåêöèè íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå - çàéìåìñÿ íàõîæäåíèåì èí-
òåãðàëîâ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè.
Âñïîìíèì, êàêàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, åñëè
÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò åå îïåðàòîðà ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ è ñàì îïåðà-
òîð ýòîé âåëè÷èíû êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà. Ïðîâåðèì
âûïîëíèìîñòü âñåõ ýòèõ òðåáîâàíèé, äëÿ ÷åãî ïðåäñòàâèì îïåðàòîð êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè â ñëåäóþùåì
âèäå:
.
1
2
1
222
ˆ
ˆ
,
2
2
2
2
22
ϕθ
∆−
∂
∂
∂
∂
−=∆−==
rmr
r
rrmmm
p
T
hhh
(20.11)
Ó÷èòûâàÿ âèä îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà (20.5), ìîæíî
îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè çàïèñàòü òàê:
mr
M
TT
r
2
ˆ
ˆˆ
2
+=
, (20.12)
ãäå
r
T
ˆ
ñëåäóåò íàçâàòü îïåðàòîðîì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàäèàëüíîãî
äâèæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëü-
íîé ñèììåòðèè âèäà
()
rU
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê:
()
.
2
ˆ
ˆˆ
2
2
rU
mr
M
TH
r
++=
(20.13)
ãäå îïåðàòîð   ∆θ ,ϕ äàåòñÿ ôîðìóëîé (19.3).
      Åñëè îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (20.9) ðàçäåëèòü íà - h 2 , òî óðàâíåíèå
(20.9) ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ (19.8), êîòîðîå èìååò ðåøåíèå ïðè
λ = l (l + 1). Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
                     M 2 = h 2 l (l + 1).                       (20.10)
      Âñå, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè-
÷åñòâà äâèæåíèÿ, ñïðàâåäëèâî è îòíîñèòåëüíî êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà: èõ êâàíòîâàíèå çàâèñèò íå îò ñèììåòðèè ïîëÿ, à îáóñëîâëåíî êîðïóñ-
êóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì ÷àñòèö ìèêðîìèðà.
      Óñòàíîâèâ ñâîéñòâà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí-êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-
ñà è åãî ïðîåêöèè íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå - çàéìåìñÿ íàõîæäåíèåì èí-
òåãðàëîâ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè.
      Âñïîìíèì, êàêàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, åñëè
÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò åå îïåðàòîðà ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ è ñàì îïåðà-
òîð ýòîé âåëè÷èíû êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà. Ïðîâåðèì
âûïîëíèìîñòü âñåõ ýòèõ òðåáîâàíèé, äëÿ ÷åãî ïðåäñòàâèì îïåðàòîð êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè â ñëåäóþùåì
âèäå:

             pˆ 2    h2     h 1 ∂  2 ∂  h2 1
        Tˆ =      =−    ∆=−           r   −       ∆θ ,ϕ . (20.11)
             2m      2m     2m r 2 ∂r  ∂r  2m r 2
     Ó÷èòûâàÿ âèä îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà (20.5), ìîæíî
îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè çàïèñàòü òàê:
                                Mˆ 2
                    Tˆ = Tˆr +       ,                          (20.12)
                               2mr
ãäå   Tˆr ñëåäóåò íàçâàòü îïåðàòîðîì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàäèàëüíîãî
äâèæåíèÿ.
    Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëü-
íîé ñèììåòðèè âèäà U (r ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê:

                                Mˆ 2
                    Hˆ = Tˆr +       + U (r.)                   (20.13)
                               2mr 2

                                         81

Страницы