Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

83
Óñòàíîâèì, ÷òî îïðåäåëÿåò ÷åòíîñòü ïîëèíîìà Ëåæàíäðà
m
l
P
. Èç ôîðìó-
ëû(19.16) ñëåäóåò, ÷òî ÷åòíîñòü ïîëèíîìà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì
( )
m
l
−
. Ýòî
âèäíî íåïîñðåäñòâåííî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ìíîæèòåëü
()
2
2
1
m
α
−
ÿâëÿåòñÿ
÷åòíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó
θα
cos
=
, à ÷åòíîñòü
ïðîèçâîäíîé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì
()
[]
mlmll
−=+−
2
.
×åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ñîìíîæè-
òåëåé. Ïîñêîëüêó ÷åòíîñòü îäíîãî çàâèñèò îò ÷èñëà
m
, à äðóãîãî -îò ÷èñ-
ëà
()
ml
−
, òî ÷åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ÷èñëà
()
.lmlm
=−+
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åòíîñòü ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè
( )
ϕθ
,
m
l
Y
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà
l
.×åòíîñòü ïîëíîé âîëíîâîé
ôóíêöèè ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ñîâïà-
äàåò ñ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà
.l
Íî ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ñâÿçàíî ñî
çíà÷åíèåì èìïóëüñà ÷àñòèöû è íàçûâàåòñÿ îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñ-
ëîì (êâàíòîâîå ÷èñëî
m
íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), ïî-
ýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î ñîâïàäåíèè ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ñ ÷åòíî-
ñòüþ ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû.
Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå íà íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà. Òàêàÿ
ñèñòåìà ïîëó÷èëà íàçâàíèå ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó
const
r
=
, òî ìîæíî
ïîëîæèòü
()
0
=
rU
è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ðîòàòîðà ïðèíèìàåò âèä:
() ()
.0,
2
,
2
0
,
=+∆
ϕθϕθ
ϕθ
m
l
m
l
EY
ma
Y
h
(20.14)
ãäå −
0
a ðàäèóñ ðîòàòîðà.
Äëÿ çíà÷åíèé ýíåðãèè ðîòàòîðà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
() ()
,1
2
1
2
2
2
2
+=+=
ll
J
ll
ma
E
o
l
hh
(20.15)
ãäå
2
0
maJ =
-ìîìåíò èíåðöèè ðîòàòîðà.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì äëÿ íîðìèðîâàííîé øàðîâîé
ôóíêöèè
                                                                         m
Óñòàíîâèì, ÷òî îïðåäåëÿåò ÷åòíîñòü ïîëèíîìà Ëåæàíäðà                   Pl . Èç ôîðìó-
ëû(19.16) ñëåäóåò, ÷òî ÷åòíîñòü ïîëèíîìà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì (l − m ). Ýòî

                                                                   (     )
                                                                          m
âèäíî íåïîñðåäñòâåííî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ìíîæèòåëü 1 − α 2                 2   ÿâëÿåòñÿ
÷åòíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó α = cos θ , à ÷åòíîñòü
ïðîèçâîäíîé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì
                          [2l − (l + m )] = l − m .
×åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ñîìíîæè-
òåëåé. Ïîñêîëüêó ÷åòíîñòü îäíîãî çàâèñèò îò ÷èñëà m , à äðóãîãî -îò ÷èñ-
ëà    (l − m ),     òî ÷åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ÷èñëà
m + (l − m ) = l.   Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åòíîñòü ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè Yl m (θ , ϕ )
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l .×åòíîñòü ïîëíîé âîëíîâîé
ôóíêöèè ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ñîâïà-
äàåò ñ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l . Íî ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ñâÿçàíî ñî
çíà÷åíèåì èìïóëüñà ÷àñòèöû è íàçûâàåòñÿ îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñ-
ëîì (êâàíòîâîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), ïî-
ýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î ñîâïàäåíèè ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ñ ÷åòíî-
ñòüþ ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû.
      Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå íà íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà. Òàêàÿ
ñèñòåìà ïîëó÷èëà íàçâàíèå ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó r = const , òî ìîæíî
ïîëîæèòü U (r ) = 0 è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ðîòàòîðà ïðèíèìàåò âèä:

                    ∆θ ,ϕ Yl (θ , ϕ ) +        EYl (θ , ϕ ) = 0.
                           m              2ma0    m
                                                                              (20.14)
                                           h 2


ãäå   a0 − ðàäèóñ ðîòàòîðà.
Äëÿ çíà÷åíèé ýíåðãèè ðîòàòîðà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
                            h2                 h2
                    El =           l (l + 1) =    l (l + 1),                  (20.15)
                           2ma 2 o             2J
ãäå
      J = ma 0 -ìîìåíò èíåðöèè ðîòàòîðà.
              2


     Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì äëÿ íîðìèðîâàííîé øàðîâîé
ôóíêöèè

                                                 83

Страницы