Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

85
21. Àòîì âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû
Àòîì âîäîðîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòå-
ìîé, ïîëó÷èâøåé òî÷íîå ðåøåíèå . Àòîì âîäîðîäà ñîñòîèò èç ÿäðà-ïðîòî-
íà è îäíîãî ýëåêòðîíà, ìåæäó êîòîðûìè äåéñòâóåò êóëîíîâñêàÿ ñèëà ïðè-
òÿæåíèÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà
.
4
)(
2
r
e
rU
o
πε
−=
Ìàññà ïðîòîíà â 1836 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïðè-
áëèæåííî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïîêîÿùèìñÿ (ÑÎ Ïðîòîí). Ýíåðãèÿ òàêîé
ñèñòåìû èç 2-õ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèàëü-
íîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè:
()
0
1
4
21
2
2
2
2
2
=
+
−
++
R
r
ll
r
Ze
E
m
dr
dR
r
dr
d
r
o
πε
h
, (19.7)
ãäå äëÿ îáùíîñòè çàðÿä ÿäðà âçÿò ðàâíûì
Ze
(êàê áóäåò ó âîäîðîäîïîäîá-
íûõ àòîìîâ).
Óðàâíåíèå (19.7) íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà.
Ôîðìó åãî çàïèñè ìîæíî èçìåíèòü, åñëè ñäåëàòü ïîäñòàíîâêó:
()
()
.
r
r
rR
χ
=
 ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê íîâîé ïåðåìåííîé, ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå,
êîòîðîå ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ îäíîìåðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ
äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå ñ ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì
()
()
.
2
1
2
2
mr
ll
rUU
ýô
+
+=
h
Íåîòðèöàòåëüíûé ÷ëåí
()
2
2
2
1
mr
ll
+
h
íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé. Â ñîñòîÿíèè
( )
ñîñòîÿíèå
sl
−=
0
öåíòðîáåæíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ è ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ñîâïàäàåò â íàøåé çàäà÷å ñ êóëîíîâñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà.
       21. Àòîì âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû

      Àòîì âîäîðîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòå-
ìîé, ïîëó÷èâøåé òî÷íîå ðåøåíèå . Àòîì âîäîðîäà ñîñòîèò èç ÿäðà-ïðîòî-
íà è îäíîãî ýëåêòðîíà, ìåæäó êîòîðûìè äåéñòâóåò êóëîíîâñêàÿ ñèëà ïðè-
òÿæåíèÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà
                                            e2
                             U (r) = −             .
                                           4πε o r
     Ìàññà ïðîòîíà â 1836 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïðè-
áëèæåííî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïîêîÿùèìñÿ (ÑÎ “Ïðîòîí”). Ýíåðãèÿ òàêîé
ñèñòåìû èç 2-õ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèàëü-
íîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè:

      1 d  2 dR   2m          Ze 2  l (l + 1)
                  +
                             +            −     R = 0 ,
      r 2 dr  dr   h 2      4πε o r 
               r             E                               (19.7)
                                              r2 
ãäå äëÿ îáùíîñòè çàðÿä ÿäðà âçÿò ðàâíûì Ze (êàê áóäåò ó âîäîðîäîïîäîá-
íûõ àòîìîâ).
      Óðàâíåíèå (19.7) íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà.
Ôîðìó åãî çàïèñè ìîæíî èçìåíèòü, åñëè ñäåëàòü ïîäñòàíîâêó:
                                    χ (r )
                               R (r ) =    .
                                      r
      ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê íîâîé ïåðåìåííîé, ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå,
êîòîðîå ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ îäíîìåðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ
äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå ñ ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì
                                           h 2 l (l + 1)
                         U ýô = U (r ) +                 .
                                             2mr 2
     Íåîòðèöàòåëüíûé ÷ëåí
                                h 2 l (l + 1)
                                  2mr 2
íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé. Â ñîñòîÿíèè l = 0 (s − ñîñòîÿíèå)
öåíòðîáåæíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ è ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ñîâïàäàåò â íàøåé çàäà÷å ñ êóëîíîâñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà.



                                     85

Страницы