Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

82
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îïåðàòîðû
2
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
M
MMM
zyx
çàâèñÿò
òîëüêî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîììóòèðóþò ñ îïåðàòî-
ðàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò
r
, à òàêæå, ÷òî îïåðàòîðû
z
yx
MM
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
êîì-
ìóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì
,
ˆ
2
M
ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ýòè îïåðàòîðû êîììó-
òèðóþò ñ ãàìèëüòîíèàíîì
H
ˆ
. È ïîñêîëüêó ýòè îïåðàòîðû íå çàâèñÿò îò
âðåìåíè, òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæå-
íèÿ. Ó÷èòûâàÿ íåêîììóòàòèâíîñòü ìåæäó ñîáîé ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëü-
ñà, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè èíòåãðàëàìè äâèæå-
íèÿ áóäóò ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (îïðåäåëÿåìàÿ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà
H
ˆ
), êâàäðàò ìîìåíòà èìïóëüñà (îïðåäåëÿåìûé îïåðàòîðîì
2
ˆ
M
) è îäíà
èç ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, íàïðèìåð
z
M
(âûáîð ýòîé ïðîåêöèè îáóñ-
ëîâëåí ïðîñòûì âèäîì îïåðàòîðà
z
M
ˆ
ïî ñðàâíåíèþ ñ âèäîì äâóõ äðó-
ãèõ ïðîåêöèé
yx
M
è
M
ˆˆ
, ñì.(20.5)).
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ÷åòíîñòè âîëíîâûõ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ
äâèæåíèå ÷àñòèöû â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ðàíåå ìû ðåøàëè
âîïðîñ î ÷åòíîñòè èëè íå ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò
òîãî, îñòàåòñÿ îíà íåèçìåííîé èëè ìåíÿåò çíàê ïðè ñîâåðøåíèè îïåðàöèè
èíâåðñèè, ò.å. çàìåíû êîîðäèíàò
() () ()
.,, zzyyxx
−→−→−→
Ïðè ïåðåõîäå ê ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îïåðàöèÿ ñâî-
äèòñÿ ê ñëåäóþùèì çàìåíàì:
( ) ( )
πϕϕθπθ
+→−→
,
ïðè íåèçìåííîì
r
.
Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè
( )
ϕθ
,
,r
Ψ
ñîâïàäàåò ñ
÷åòíîñòüþ øàðîâîé ôóíêöèè
()()()
ϕθϕθ
Φ=
PY,
.
×åòíîñòü æå ôóíêöèè
() ()
ϕ
π
ϕ
imexp
2
1
=Φ
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ìíîæèòåëÿ
( )
ϕ
im
exp
, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ÷åò-
íîñòè ÷èñëà
:m
()
[]
() ( )
ϕ−=π+ϕ
imim
m
exp1exp
.
     Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îïåðàòîðû                Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z , Mˆ 2 çàâèñÿò
òîëüêî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîììóòèðóþò ñ îïåðàòî-
ðàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò      r , à òàêæå, ÷òî îïåðàòîðû Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z êîì-
ìóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì Mˆ 2 , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ýòè îïåðàòîðû êîììó-
òèðóþò ñ ãàìèëüòîíèàíîì Ĥ . È ïîñêîëüêó ýòè îïåðàòîðû íå çàâèñÿò îò
âðåìåíè, òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæå-
íèÿ. Ó÷èòûâàÿ íåêîììóòàòèâíîñòü ìåæäó ñîáîé ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëü-
ñà, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè èíòåãðàëàìè äâèæå-
íèÿ áóäóò ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (îïðåäåëÿåìàÿ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà
Ĥ ), êâàäðàò ìîìåíòà èìïóëüñà (îïðåäåëÿåìûé îïåðàòîðîì M̂ 2 ) è îäíà
èç ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, íàïðèìåð M z (âûáîð ýòîé ïðîåêöèè îáóñ-

ëîâëåí “ïðîñòûì” âèäîì îïåðàòîðà         M̂ z ïî ñðàâíåíèþ ñ âèäîì äâóõ äðó-
ãèõ ïðîåêöèé Mˆ x èMˆ y , ñì.(20.5)).
      Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ÷åòíîñòè âîëíîâûõ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ
äâèæåíèå ÷àñòèöû â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ðàíåå ìû ðåøàëè
âîïðîñ î ÷åòíîñòè èëè íå ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò
òîãî, îñòàåòñÿ îíà íåèçìåííîé èëè ìåíÿåò çíàê ïðè ñîâåðøåíèè îïåðàöèè
èíâåðñèè, ò.å. çàìåíû êîîðäèíàò
                     x → (− x ), y → (− y ), z → (− z ).
     Ïðè ïåðåõîäå ê ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îïåðàöèÿ ñâî-
äèòñÿ ê ñëåäóþùèì çàìåíàì: θ → (π − θ ), ϕ → (ϕ + π ) ïðè íåèçìåííîì                 r.
     Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ (r, θ , ϕ ) ñîâïàäàåò ñ
÷åòíîñòüþ øàðîâîé ôóíêöèè
                             Y (θ ,ϕ ) = P(θ )Φ(ϕ ) .
×åòíîñòü æå ôóíêöèè

                             Φ (ϕ ) =      exp(imϕ )
                                        1
                                        2π

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ìíîæèòåëÿ          exp(imϕ ) , êîòîðàÿ çàâèñèò îò ÷åò-
íîñòè ÷èñëà   m:
                       exp[im(ϕ + π)] = (− 1)m exp(imϕ) .

                                        82

Страницы