Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

80
Ëàïëàñèàí
ϕθ
,
∆
áûë ââåäåí íàìè ðàíåå ÷èñòî ôîðìàëüíî òàê:
2
2
2
,
sin
1
sin
sin
1
ϕθθ
θ
θθ
ϕθ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∆
. (19.3)
Íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî îí ñâÿçàí ñ êâàäðàòîì îïåðàòîðà ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñ îïåðàòîðîì
2
ˆ
M
êîììóòè-
ðóåò êàæäàÿ ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà
.
ˆ
M
À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîì îïûòå
ìîæíî îäíîâðåìåííî îïðåäåëèòü äâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû
,,,
2
z
M
íàïðèìåðè
M
òàê êàê îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì âå-
ëè÷èíàì, êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì:
.0
ˆˆˆˆ
22
=− MMMM
zz
Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå.
Ñîñòàâèì òàêèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ
:
ˆ
ˆ
2
M
è
M
z
Φ=Φ
∂
∂
−Φ=Φ
zzz
Mi
èëè
MM
ϕ
h
ˆ
, (20.6)
åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
() ()
,exp
2
1
ϕ
π
ϕ
im
=Φ
(20.7)
ãäå
h
z
M
m
=
- öåëîå ÷èñëî, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0,
...2,1 ±±
, îòêóäà
.hmM
z
=
(20.8)
Ðàâåíñòâî (20.8) óêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå (íàïðàâëåíèå îñè Oz ïðîèçâîëüíîå)
ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè
îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé èìåòü íå ìîãóò. Âìåñòå ñ òåì, ïîä÷åðêíåì, ÷òî
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (20.8) íå ñâÿçàí íåïîñðåäñòâåííî ñ õàðàêòåðîì ïîëÿ,
åãî ñèììåòðèåé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (19.8) íå çàâèñèò îò
ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U, îïðåäåëÿþùåé õàðàêòåð ïîëÿ, åãî ñèììåòðèþ.
Òåïåðü çàéìåìñÿ óðàâíåíèåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ. Â îïåðàòîðíîì âèäå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ ñòàíäàðòíî:
() () () ()
.,,,,,
ˆ
2222
,
ϕθϕθϕθϕθ
ϕθ
YMYèëèYMYM
=∆−=
h
(20.9)
     Ëàïëàñèàí      ∆θ ,ϕ áûë ââåäåí íàìè ðàíåå ÷èñòî ôîðìàëüíî òàê:

                           1 ∂           ∂    1     ∂2
               ∆θ ,ϕ =            sin θ    +            .                         (19.3)
                         sin θ ∂θ       ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2
     Íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî îí ñâÿçàí ñ êâàäðàòîì îïåðàòîðà ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñ îïåðàòîðîì                     M̂ 2 êîììóòè-
ðóåò êàæäàÿ ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà M̂ . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîì îïûòå
ìîæíî îäíîâðåìåííî îïðåäåëèòü äâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû
M 2 è , íàïðèìåð , M z , òàê êàê îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì âå-
ëè÷èíàì, êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì:
                       Mˆ 2 Mˆ z − Mˆ z Mˆ 2 = 0.
    Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå.
Ñîñòàâèì òàêèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ Mˆ z è Mˆ 2 :
                                     ∂
            Mˆ z Φ = M z Φ èëè − ih    Φ = M zΦ ,                                 (20.6)
                                    ∂ϕ
åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

                         Φ (ϕ ) =      exp(imϕ ),
                                    1
                                                                                  (20.7)
                                    2π
          Mz
ãäå m =      - öåëîå ÷èñëî, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0, ± 1, ± 2... , îòêóäà
          h
                    M z = mh.                                   (20.8)
      Ðàâåíñòâî (20.8) óêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå (íàïðàâëåíèå îñè Oz –ïðîèçâîëüíîå)
ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè
îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé èìåòü íå ìîãóò. Âìåñòå ñ òåì, ïîä÷åðêíåì, ÷òî
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (20.8) íå ñâÿçàí íåïîñðåäñòâåííî ñ õàðàêòåðîì ïîëÿ,
åãî ñèììåòðèåé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (19.8) íå çàâèñèò îò
ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U, îïðåäåëÿþùåé õàðàêòåð ïîëÿ, åãî ñèììåòðèþ.
      Òåïåðü çàéìåìñÿ óðàâíåíèåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ. Â îïåðàòîðíîì âèäå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ ñòàíäàðòíî:
       Mˆ 2Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ) , èëè − h 2 ∆ θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ). (20.9)


                                            80

Страницы