Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

88
Âåðîÿòíîñòü æå íàõîæäåíèÿ òîé æå ÷àñòèöû â ýëåìåíòå îáúåìà
ϕθθ
dddrrdV sin
2
=
(22.2)
ðàâíà:
() ()
ϕθθϕθ
ddYdrrRrWdV
ml
sin,
2
,
2
2
⋅=
. (22.3)
Åñëè âûðàæåíèå (22.3) ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî óãëàì, òî ìû ïîëó÷èì
âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷à-
ñòèöû â ñëîå ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè
.
,
dr
r
r
+
Îáîçíà÷èì ýòó
âåðîÿòíîñòü òàê:
() ()
∫
Ω=
,,
2
,
2
2
dYrRrDdr
ml
ϕθ
(22.4)
ãäå
−=Ω
ϕθθ
ddd sin
ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà.
Âûøå (21.2) ìû çàïèñàëè îáùèé âèä ðàäèàëüíîé ôóíêöèè
( )
rR
. Ýòà
ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèåì ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà
n
, òàê
è îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì
.l
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (21.2), ìîæíî
íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà îò ðàññòîÿíèÿ äî öåí-
òðà àòîìà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé.
Ìû âèäèì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó êàê âáëè-
çè ÿäðà, òàê è íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî ìàëà. Íà êîíå÷íûõ ðàññòî-
ÿíèÿõ ôóíêöèÿ
()
rW
ln
,
îáðàùàåòñÿ â íóëü
1
−−
l
n
ðàç è ýëåêòðîííîå
îáëàêî âåðîÿòíîñòè ðàçáèâàåòñÿ íà ñëîè.
Âû÷èñëåíèå ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ïðèâîäèò ê
ôîðìóëå:
()
[]
,13
2
2
0
,
+−=
lln
a
r
ln
(22.5)
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå áûñòðî ðàñòåò ïðè óâåëè-
÷åíèè ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, à ïðè çàäàííîì
n
óáûâàåò ñ ðîñòîì
îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Ðåçêîé ãðàíèöû ó àòîìà íåò.  ñîñòîÿíè-
ÿõ ñ
1−= nl
âåðîÿòíîñòü
()
,
2
exp~
0
2
−
na
r
rrW
n
       Âåðîÿòíîñòü æå íàõîæäåíèÿ òîé æå ÷àñòèöû â ýëåìåíòå îáúåìà
                    dV = r 2 dr sin θdθdϕ                                           (22.2)
ðàâíà:

              WdV = r 2 R(r ) dr ⋅ Yl ,m (θ , ϕ ) sin θdθdϕ .
                                       2                        2
                                                                                    (22.3)
    Åñëè âûðàæåíèå (22.3) ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî óãëàì, òî ìû ïîëó÷èì
âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷à-
ñòèöû â ñëîå ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè                        r , r + dr. Îáîçíà÷èì ýòó
âåðîÿòíîñòü òàê:

              Ddr = r 2 R (r )         ∫ Y (θ , ϕ )
                                   2                       2
                                           l ,m                dΩ ,                 (22.4)

ãäå   dΩ = sin θdθdϕ − ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà.
       Âûøå (21.2) ìû çàïèñàëè îáùèé âèä ðàäèàëüíîé ôóíêöèè                        R (r ). Ýòà
ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèåì ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà                          n , òàê
è îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì l. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (21.2), ìîæíî
íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà îò ðàññòîÿíèÿ äî öåí-
òðà àòîìà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé.
      Ìû âèäèì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó êàê âáëè-
çè ÿäðà, òàê è íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî ìàëà. Íà êîíå÷íûõ ðàññòî-
ÿíèÿõ ôóíêöèÿ   Wn,l (r ) îáðàùàåòñÿ â íóëü n − l − 1 ðàç è ýëåêòðîííîå
îáëàêî âåðîÿòíîñòè ðàçáèâàåòñÿ íà ñëîè.
     Âû÷èñëåíèå ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ïðèâîäèò ê
ôîðìóëå:
                         a0
                    rn ,l =
                         2
                               [
                            3n 2 − l (l + 1) ,         ]       (22.5)
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå áûñòðî ðàñòåò ïðè óâåëè-
÷åíèè ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, à ïðè çàäàííîì n óáûâàåò ñ ðîñòîì
îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Ðåçêîé ãðàíèöû ó àòîìà íåò.  ñîñòîÿíè-
ÿõ ñ l = n − 1 âåðîÿòíîñòü
                                                  2r 
                              W (r ) ~ r 2 n exp −   ,
                                                  na0 



                                                  88

Страницы