Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

89
è ìàêñèìóì ôóíêöèè
()
rW
äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå ñ
.
2
0
n
a
r
n
=
Ýòè ðàññòîÿ-
íèÿ ñîâïàäàþò ñ ðàäèóñàìè áîðîâñêèõ êðóãîâûõ îðáèò äëÿ àòîìà âîäîðî-
äà. Äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ íóæíî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ôîð-
ìóë ââåñòè ìíîæèòåëü
Z
, íàïðèìåð, ðàäèóñû áîðîâñêèõ îðáèò äëÿ âîäî-
ðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå:
.
2
n
Z
a
r
o
n
=
(22.6)
Ðàññìîòðèì äàëåå óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âå-
ðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ýëåìåíòàðíîãî
óãëà
Ωd
, çàäàííîãî óãëàìè
,,
ϕθ
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
() ()()
ϕθθϕθϕθ=ϕθΩ
ddYYd
mlml
sin,,*,
,,
Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ôóíêöèè
m
l
Y
,
îò óãëà
ϕ
èìååò âèä
()
,exp
ϕ
im
òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò
îò óãëà
ϕ
, ÷òî ãîâîðèò îá îñåâîé ñèììåòðèè ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðî-
ÿòíîñòè, îäèíàêîâîé âî âñåõ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ ïîëÿõ.
23. Óðîâíè ýíåðãèè â àòîìå âîäîðîäà
Ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ôîðìóëû ýíåðãåòè-
÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè, ïî-
ëó÷åííûìè â ïîëó êëàññè÷åñêîé (ïîëó êâàíòîâîé) òåîðèè Í.Áîðà. Îäíàêî,
èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ôîðìóë ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íà, òàê êàê ýòè äâå òåî-
ðèè èñõîäÿò èç ðàçíûõ ïðåäïîñûëîê.  òåîðèè Áîðà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýëåêòðîí
äâèæåòñÿ ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå, êîòîðàÿ èìååò òèïè÷íî êëàññè÷åñêèé
õàðàêòåð. Ñïåöèàëüíûì ïîñòóëàòîì Áîð ñïàñàåò ñâîþ ìîäåëü àòîìà, äå-
ëàÿ áåçóìíîå äëÿ òîãî âðåìåíè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî, íàõîäÿñü íà îðáèòå,
ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ, õîòÿ è äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Èçëó÷åíèå
ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ.
Ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â
àòîìå íåëüçÿ ãîâîðèòü î äâèæåíèè ïî êàêîé-ëèáî îðáèòå, ýòî ñëåäóåò èç
êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñâîéñòâ ýëåêòðîíà, èç ñîîòíîøåíèÿ
íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà äëÿ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðî-
åêöèè èìïóëüñà
.h≈∆⋅∆
x
px
Âìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ î äâèæåíèè ýëåêòðî-
íà ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå âîë-
è ìàêñèìóì ôóíêöèè W (r ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå ñ rn = a0 n 2 . Ýòè ðàññòîÿ-
íèÿ ñîâïàäàþò ñ ðàäèóñàìè áîðîâñêèõ êðóãîâûõ îðáèò äëÿ àòîìà âîäîðî-
äà. Äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ íóæíî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ôîð-
ìóë ââåñòè ìíîæèòåëü Z , íàïðèìåð, ðàäèóñû áîðîâñêèõ îðáèò äëÿ âîäî-
ðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå:
                            ao 2
                            rn =
                               n .                          (22.6)
                             Z
     Ðàññìîòðèì äàëåå óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âå-
ðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ýëåìåíòàðíîãî
óãëà dΩ , çàäàííîãî óãëàìè θ , ϕ , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
                 dΩ(θ, ϕ) = Yl , m * (θ, ϕ)Yl , m (θ, ϕ)sin θdθdϕ

     Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ôóíêöèè                Yl ,m îò óãëà ϕ èìååò âèä
exp(imϕ ), òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò
îò óãëà ϕ , ÷òî ãîâîðèò îá îñåâîé ñèììåòðèè ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðî-
ÿòíîñòè, îäèíàêîâîé âî âñåõ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ ïîëÿõ.

              23. Óðîâíè ýíåðãèè â àòîìå âîäîðîäà

      Ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ôîðìóëû ýíåðãåòè-
÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè, ïî-
ëó÷åííûìè â ïîëó êëàññè÷åñêîé (ïîëó êâàíòîâîé) òåîðèè Í.Áîðà. Îäíàêî,
èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ôîðìóë ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íà, òàê êàê ýòè äâå òåî-
ðèè èñõîäÿò èç ðàçíûõ ïðåäïîñûëîê.  òåîðèè Áîðà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýëåêòðîí
äâèæåòñÿ ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå, êîòîðàÿ èìååò òèïè÷íî êëàññè÷åñêèé
õàðàêòåð. Ñïåöèàëüíûì ïîñòóëàòîì Áîð “ñïàñàåò” ñâîþ ìîäåëü àòîìà, äå-
ëàÿ “áåçóìíîå” äëÿ òîãî âðåìåíè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî, íàõîäÿñü íà îðáèòå,
ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ, õîòÿ è äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Èçëó÷åíèå
ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ.
      Ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â
àòîìå íåëüçÿ ãîâîðèòü î äâèæåíèè ïî êàêîé-ëèáî îðáèòå, ýòî ñëåäóåò èç
êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñâîéñòâ ýëåêòðîíà, èç ñîîòíîøåíèÿ
íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà äëÿ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðî-
åêöèè èìïóëüñà ∆x ⋅ ∆p x ≈ h. Âìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ î äâèæåíèè ýëåêòðî-
íà ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå âîë-

                                        89

Страницы