Строение и свойства вещества. Изд. 2-е, переработанное. Розман Г.А. - 234 стр.

             III. Наряду с элементарной ячейкой кристаллической решетки в теории рассмат-
       ривается так называемая обратная решетка. Ее векторы трансляции определяются по
       формулам:
                        r [ar ar ]                              r [ar ar ]                r [ar ar ]
                        b1 = 2 3 ;                              b2 = 3 1 ;                b3 = 1 2 ,
                             V0                                      V0                        V0
                          r r r
             где   V 0 = (a 1 [a 2 a 3 ])                    - объем элементарной ячейки.
             Очевидно соотношение
                              r r r
                                   ( [ ])
                        Ω 0 = b1 b2 b3 =
                                          1
                                         V0
                                            ,

             где   Ω0 - объем элементарной                       ячейки обратной решетки.
             Можно показать, что простые решетки всех систем решеток Браве имеют обрат-
       ными также простые решетки тех же систем. Обратная решетка гранецентрированных
       решеток Браве (ромбической, тетрагональной и кубической) является объемноцентри-
       рованной решеткой той же системы и наоборот. Решетке с центрированным базисом
       соответствует решетка также с центрированным базисом. Аналогом ячейки Вигнера-
       Зейтца в обратной решетке является зона Бриллюэна.
             Введение обратной решетки позволяет математически проще установить свой-
       ства физических величин, характеризующих идеальный кристалл. Например, извест-
       но, что все эти величины описываются функциями с той же периодичностью, что и
       сама решетка.
             Пусть   U (r )      - одна из таких величин. Очевидно, что
                         r r
                             (      r
                       U r + R = U (r ),    )
                   r      3
                                       r              r                                                  r
             где   R=    ∑n       α    aα ,           n = (n1 , n 2 , n3 ), − nα        - целые числа,   aα   - вектор
                         a =1
       трансляции решетки.
                                                r
             Разложим функцию                U (r )         в тройной ряд Фурье:
                          r
                       U (r ) =            ∑U
                                                                rr
                                                      r
                                                      q   e 2π iq r .
                                            r
                                            q
                                           r
             Значения вектора              q     определяются требованием периодичности:
                                                rr              rr r               rr
                        ∑U
                         r
                         q
                                   r
                                   q   e   2 πi q r
                                                      ⋅ e 2πiq r R = ∑ U qr e 2 πiq r .
                                                                        r
                                                                        q
             Это соотношение будет выполняться, если


                                                                                                                  250




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com