Строение и свойства вещества. Изд. 2-е, переработанное. Розман Г.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

68
кой волне и учитывает дискретность в расположении атомов. Комплексная
форма решения выбрана для математического удобства, в конечном резуль-
тате мнимость будет отсутствовать.
Если составить
nn
UU
2
ω−=
&&
и учесть, что
(
)
{
}
[
]
iqa
nn
eUnqtiAU =++⋅⋅=
+
1exp
1
ω
и
iqa
nn
eUU
−
−
=
1
,
то уравнение (2.9.2) запишется так:
(
)
2
2
−+=−
−iqaiqa
nn
eeUmU βω ,
или
( )
2
sin42
2
2
22
2
qa
m
ee
m
ee
m
iqaiqa
iqaiqa
βββ
ω =
−−=−+−=
−
−
,
откуда
2
sin
4
2
1
qa
m
±=
β
ω . (2.9.4)
Подобную формулу, устанавливающую зависимость частоты
колебаний от волнового числа
q
, в физике называют дисперсионной
формулой. Её график (график дисперсионного закона) представлен на
рис.19.
Как видно из формулы (2.9.4) максимальная частота волн, распростра-
няющихся в рассматриваемой решётке, равна
m
β
ω
4
max
= . (2.9.5)
Эта частота соответствует таким значениям
max
q , при которых
множитель
2
sin
qa
принимает значение 1, то есть
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       кой волне и учитывает дискретность в расположении атомов. Комплексная
       форма решения выбрана для математического удобства, в конечном резуль-
       тате мнимость будет отсутствовать.
                            && = −ω 2U и учесть, что
             Если составить U n       n

             U n +1 = A ⋅ exp[i{ω ⋅ t + q (n + 1)}] = U n e iqa
             и   U n −1 = U n e −iqa ,
       то уравнение (2.9.2) запишется так:
                                            (
             − ω 2 mU n = βU n e iqa + e −iqa − 2 ,     )
       или
                                                                  2
                                   β               
                                              − iqa
            β                                         β
                     (                           )
                                        iqa
                                                              qa
       ω = − e iqa + e −iqa − 2 = −  e 2 − e 2  = 4 sin 2
         2
                                                                 ,
            m                      m                m        2
                                   1
                     4β              2
                                                 qa
        откуда ω = ±                     sin      .                      (2.9.4)
                     m                          2
            Подобную формулу, устанавливающую зависимость частоты
       колебаний от волнового числа q , в физике называют дисперсионной
       формулой. Её график (график дисперсионного закона) представлен на
       рис.19.
            Как видно из формулы (2.9.4) максимальная частота волн, распростра-
       няющихся в рассматриваемой решётке, равна

                                           4β
                         ω max =              .                            (2.9.5)
                                           m
             Эта частота соответствует таким значениям                q max , при которых
                          qa
       множитель sin         принимает значение 1, то есть
                           2




                                                                                      68




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы