Строение и свойства вещества. Изд. 2-е, переработанное. Розман Г.А. - 72 стр.

       устанавливающихся в одномерной решётке конечной длины ?
             Пусть длина решётки              L = Na , она содержит ( N + 1)    частицу, расположенных

       на расстоянии a друг от друга, крайние частицы при этом ( n              =0   и     n = N ) закреп-
       лены и не могут перемещаться. Как показано в Гл.2 § 9, любая волна, распространяю-
       щаяся в такой цепочке атомов, может быть представлена в виде суперпозиции волн
       вида (2.9.3). Эту формулу для данной задачи мы запишем так:
                                              iω q t
                       U n ,q = Aq e                   ⋅ sin qna .                         (2.10.1)

             Покажем, что волновое число                   q может принимать лишь конечное число диск-
       ретных значений.
             Действительно, в силу закрепления концов цепочки                U 0,q = U N ,q = 0 . На        ос-
       новании (2.10.1) это возможно, если волновое число принимает конечное число значе-
       ний, а именно:
                                π 2π    Nπ
                        q=       ;   ;L    .                                    (2.10.2)
                                L L      L
                                    π
             Значение q    =            соответствует волне
                                    L
                                            π
                       U        π   ~ sin     na ,
                           n,
                                L
                                            L
             и при n   = 0 иn = N
                       U        π   ≅U        π   ≅ 0,
                           0,            N,
                                L             L

                                                                                                N
             где учтено, что L = na . Максимум смещения получается при                     n=         , то есть
                                                                                                2
       посередине цепочки. Решению
             Nπ Nπ π
        q=      =    = = q max ,
              L   na  a
             соответствует смещение
                                                  π
                       U N ,qmax ~ sin              na = sin πn ,
                                                  a
       то есть вообще не допускает никакого смещения для любой (n ) частицы цепочки. Таким
       образом, имеется (N − 1) допустимых значений волнового числа q. Число этих допусти-
       мых значений q равно числу частиц, способных смещаться. Так как волновое число q

                                                                                                           72




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com