Теория относительности. Розман Г.А. - 103 стр.

                                                                                               199

                               r           ∂ϕ
                            divA + ε 0 μ 0    = 0 (для вакуума).                          (16.2)
                                           ∂t
    Благодаря условию (16.2) уравнения, которым должны удо-
влетворять скалярный и векторный потенциалы, существенно упроща-
ются и принимают для обоих потенциалов однотипный вид (что и оп-
равдывает введение этих вспомогательных функций). Эти уравнения и
получили название уравнений Даламбера. Для вакуума, они имеют следую-
щий вид:
                                           ∂ 2ϕ   ρ
                            Δϕ − ε 0 μ 0        =− ,
                                           ∂t 2   ε0
и                                                                                         (16.3)
                                           r 2
                             r          ∂ A        r
                            ΔA − ε 0 μ 0 2 = − μ 0 j .
                                        ∂t
    Нашей задачей является придать калибровочному условию (16.2) и
уравнениям Даламбера (16.3) 4-х-мерную форму записи.
                             r
    Введем 4-х-мерный вектор Φ с компонентами:
                                                           i
                     Φ 1 = Ax , Φ 2 = Ay , Φ 3 = Az , Φ 4 = ϕ ,                           (16.4)
                                                           c
воспользуемся координатами Минковского (9.1):
                x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict,                    (9.1)
и введем еще один 4-х-мерный вектор:
                j1=jx, j2=jy, j3=jz, j4=ic ρ .              (16.5)
    Тогда и калибровочное условие (16.2), и уравнения Даламбера (16.3)
запишутся в инвариантной 4-х-мерной форме так:
                            ∂Φ 1 ∂Φ 2 ∂Φ 3 ∂Φ 4
                                +      +      +      =0                                   (16.6)
                            ∂x1   ∂x 2   ∂x 3   ∂x 4

                            ∂ 2Φ k       ∂ 2Φ k       ∂ 2Φ k       ∂2Φk
                                     +            +            +           = − μ 0 jk ,   (16.7)
                             ∂x12         ∂x 22        ∂x 32       ∂x 42
    В уравнении (16.7) фактически записаны 4 уравнения, которые полу-
чаться, если индексу к придавать значения к=1, 2, 3, 4.

* § 16 предназначен для читателей,   знакомых с уравнениями Максвелла.