Теория относительности. Розман Г.А. - 177 стр.

                                                                     273
                              х1=f1(x,y,z,t),
                              x 2 =f 2 (x,y,z,t),
                              x 3 =f 3 (x,y,z,t),                 (7.1)
                              x 4 =f 4 (x,y,z,t).
     Для полного решения задачи необходимо установить явный вид фун-
кций f1, f2, f3 , f4 . Однако мы изберем другой путь для достижения цели.
Для этого познакомимся с некоторыми особенностями геометрии в раз-
ных координатных системах.
     Начнем с геометрии на плоскости. В декартовых координатах квад-
рат расстояния между двумя бесконечно близкими точками определя-
ется по формуле
                              dl2=dx2+dy2 ,                       (7.2)
т.е. квадрат дифференциала расстояния между двумя бесконечно близкими
точками (рис.9) выражается в виде суммы квадратов дифференциалов коор-
динат dx и dy c постоянными коэффициентами, равными единице (обратим
внимание на данное определение, т.к. оно будет определяющим для уста-
новления в последующем класса геометрии). Легко видеть, что другие коор-
динаты, например, полярные (рис.10) этим свойством не обладают:
                       dl2 = dr2 +r2d ϕ 2 ,                 (7.3)
где r - расстояние от начала координат до точки наблюдения Р(r, ϕ ), ϕ
- угол между направлением на избранную точку Р и ранее выбранной
оси 0х. Коэффициент при втором слагаемом в (7.2) оказывается пере-
менным.
     Однако в случае геометрии на плоскости всегда можно перейти от
полярных или других координат к декартовой системе координат и тем
самым добиться, чтобы квадрат элемента длины dl2 выражался в виде сум-
мы квадратов дифференциалов координат с постоянными коэффициентами.
      Глубокая причина этого утверждения заключается в том, что в случае
геометрии на плоскости мы имеем дело с “плоским многообразием” (с “плос-
ким” пространством), в котором справедливы законы геометрии Евклида
(справедливо и обратное утверждение: если выполняются постулаты Евкли-
да, то такое пространство является “плоским”). В частности, сумма углов
любого треугольника на плоскости равна 1800, и для любого прямоугольно-
го треугольника справедлива теорема Пифагора.
     Обратимся теперь к рассмотрению трехмерного пространства. В декар-
товых координатах квадрат расстояния между двумя близкими точками так-