Теория относительности. Розман Г.А. - 178 стр.

                                                                         274
     Декартова система      же выражается суммой квадратов дифференци-
  координат на плоскости. алов координат х, y, z с постоянными коэффи-
 y                          циентами, равными единице:
                              dl2=dx2+dy2+dz2.                   (7.4)
                    P            Этим свойством не обладают криволиней-
dy         dl               ные координаты, например, цилиндрические
                            или сферические (рис.11 и 12):
     M                              dl2=dr2+ ρ 2d ϕ 2 + dz2              (7.5)
 O           dx
                        x   и
          Рис.9.                    dl2=dr2 + r2sin2 θ d ϕ 2 + r2d θ 2 . (7.6)
    Однако как и в случае геометрии на плоскости, мы всегда можем вер-
нуться от криволинейных координат к декартовым и привести тем самым
выражение dl2 к сумме квадратов дифференциалов координат с единичными
коэффициентами.
    Ясно, что такая возможность обусловлена тем, что в рассматриваемом
трехмерном пространстве (говорят о “многообразии”) справедлива геомет-
рия Евклида. Такое многообразие (пространство) принято называть “плос-
ким” (по аналогии с двухмерным “плоским” евклидовым пространством).
                             Этим эпитетом отмечается лишь то, что и в
     Полярная система
                             трехмерном пространстве справедлива геомет-
  координат на плоскости
                             рия Евклида.
                                  Совершенно иное положение мы обнару-
           ρ       P(ρ, ϕ)
                             живаем в случае “кривых” пространств (мно-
                             гообразий), в которых законы геометрии Евк-
            ϕ
                             лида неверны. В качестве иллюстрации такого
   O                     x   “кривого” многообразия рассмотрим геомет-
         Рис. 10.
                             рию на поверхности сферы. То, что поверх-
ность “кривая”, не вызывает сомнения, она двухмерная, кратчайшее рассто-
яние между точками на поверхности сферы измеряется отрезком дуги боль-
шого круга, которая является аналогом прямой в “плоском” (евклидовом)
пространстве.
    На рис.13 показано, что в сферическом треугольнике, сторонами кото-
рого являются отрезки дуг большого круга, сумма углов не равна 1800. На-
пример, в сферическом треугольнике, образованном дугой экватора и двумя
меридианами, сходящимися в полюсе под прямым углом друг к другу, сум-
ма углов равна 2700. Очевидно, что для “кривой” поверхности сферы теоре-