Теория относительности. Розман Г.А. - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

277
х = х’соs
ω
t’- y’sin
ω
t’; y = y’cos
ω
t’ + x’sinsin
ω
t’; z = z’; t = t’ .
Как и в предыдущем случае, составляем дифференциалы координат и
времени:
dx = dx’cos
ω
t’- dy’sin
ω
t’-
ω
(х’sin
ω
t’+ у’cos
ω
t’).dt’;
dy = dy’cos
ω
t’+ dx’sin
ω
t’+
ω
(х’cos
ω
t’- у’sin
ω
t’).dt’;
dz = dz’; dt = dt’.
Преобразуем правую часть формулы (7.7),используя последние равен-
ства; квадрат приращения интервала принимает вид:
ds
2
=dx’
2
+dу’
2
+dz’
2
+[
ω
2
(x’
2
+y’
2
)- c
2
]dt’
2
-2
ω
y’dx’dt’+
+ 2
ω
x’dy’dt’ (7.9)
Таким образом, в ускоренно движущихся СО квадрат приращения
интервала содержит не только квадраты дифференциалов координат и
времени, но и произведения дифференциалов разных координат, при-
чем коэффициенты этой квадратичной формы в общем случае являются
переменными величинами, к тому же коэффициенты у членов, содержа-
щих смешанные произведения дифференциалов координат и времени,
никогда
не могут равняться 1 или 0 (они же содержат линейное ускоре-
ние
а
r
или угловую скорость
ω
, и только при переходе к ИСO эти чле-
ны исчезают, но нас сейчас интересуют ускоренно движущиеся СО, для
которых
0≠а
r
и
0≠
ω
).
Мы рассмотрели два частных случая движения ускоренно движущей-
ся СО. Полученный результат естественно обобщается на произвольно
движущиеся СО. Но для этого целесообразно ввести новые координаты,
определяемые формулами (7.1).Тогда квадрат приращения интервала в
общем случае с помощью переменных х
1
, х
2
, х
3
, x
4
запишется так:
dS
2
= g
11
(x
1
...x
4
) dx
1
2
+ g
22
(x
1
...x
4
) dx
2
2
+ g
33
(x
1
...x
4
) dx
3
2
+
+ g
44
(x
1
...x
4
) dx
4
2
+
+2g
12
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
2 +
2g
13
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
3
+
+ 2g
14
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
4
+ 2g
23
(x
1
...x
4
) dx
2
dx
3
+ (7.10)
+2g
24
(x
1
...x
4
) dx
2
dx
4
+ 2g
34
(x
1
...x
4
) dx
3
dx
4
.
Полученные выше формулы (7.7), (7.8) и (7.9) являются частными
случаями формулы (7.10). В более компактной форме выражение (7.10)
запишется так:
                                                                                  277
      х = х’соs ω t’- y’sin ω t’; y = y’cos ω t’ + x’sinsin ω t’; z = z’; t = t’ .
    Как и в предыдущем случае, составляем дифференциалы координат и
времени:
          dx = dx’cos ω t’- dy’sin ω t’- ω (х’sin ω t’+ у’cos ω t’).dt’;
          dy = dy’cos ω t’+ dx’sin ω t’+ ω (х’cos ω t’- у’sin ω t’).dt’;
                                 dz = dz’; dt = dt’.
    Преобразуем правую часть формулы (7.7),используя последние равен-
ства; квадрат приращения интервала принимает вид:
              ds2=dx’2+dу’2+dz’2+[ ω 2(x’2+y’2)- c2]dt’2-2 ω y’dx’dt’+
                      + 2 ω x’dy’dt’                                            (7.9)
    Таким образом, в ускоренно движущихся СО квадрат приращения
интервала содержит не только квадраты дифференциалов координат и
времени, но и произведения дифференциалов разных координат, при-
чем коэффициенты этой квадратичной формы в общем случае являются
переменными величинами, к тому же коэффициенты у членов, содержа-
щих смешанные произведения дифференциалов координат и времени,
никогда не могут равняться 1 или 0 (они же содержат линейное ускоре-
      r
ние а или угловую скорость ω , и только при переходе к ИСO эти чле-
ны исчезают, но нас сейчас интересуют ускоренно движущиеся СО, для
           r
которых а ≠ 0 и ω ≠ 0 ).
    Мы рассмотрели два частных случая движения ускоренно движущей-
ся СО. Полученный результат естественно обобщается на произвольно
движущиеся СО. Но для этого целесообразно ввести новые координаты,
определяемые формулами (7.1).Тогда квадрат приращения интервала в
общем случае с помощью переменных х1, х2, х3 , x4 запишется так:
      dS2 = g11(x1...x 4) dx1 2 + g22(x1...x 4 ) dx2 2 + g33(x1 ...x4 ) dx3 2 +
      + g44 (x1...x 4) dx4 2 +
      +2g12(x1...x4) dx1dx2 + 2g13(x1...x4) dx1dx3 +
      + 2g14 (x1...x4) dx 1dx4 + 2g23 (x1...x4 ) dx 2dx3 +                       (7.10)
      +2g24 (x1...x4 ) dx 2dx4 + 2g34 (x1...x4 ) dx3 dx4 .
    Полученные выше формулы (7.7), (7.8) и (7.9) являются частными
случаями формулы (7.10). В более компактной форме выражение (7.10)
запишется так:

Страницы