Теория относительности. Розман Г.А. - 182 стр.

                                                                                  278

                                       4
                            dS 2 =   ∑ gik (x1, x2 , x3 , x4 ) ⋅ dxidxk .   (7.11)
                                     i ,k =1

     Совокупность величин gik образует так называемый метрический
тензор, смысл этого названия будет раскрыт ниже. Обратим внимание
на то, что коэффициенты gik симметричны, т.е., в силу равноценности
индексов:
                          gik (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )= g ki (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ), (7.12)
и поэтому существует лишь 10 различных компонент gik :
                 g11, g22, gЗЗ, g44, g12, g13, g14, g23, g24, g34.
      При переходе от одной СО к другой компоненты метрического тензора
gik естественно будут изменяться, но квадрат приращения интервала dS2 бу-
дет оставаться неизменным в силу его инвариантности.
     Повторим некоторые чрезвычайно важные положения, о которых мы
уже говорили ранее. В отсутствии истинного гравитационного поля мы
всегда можем перейти от неинерциальных координат xl , x2, x3 , x4 (напри-
мер, от вращающейся или равномерно ускоренно движущейся СO) к коор-
динатам ИСO. При таком переходе мы “освобождаемся” от инерционных
гравитационных сил, как-то центробежных сил или сил Кориолиса во вра-
щающейся CO, или сил инерции в равноускоренно движущейся CO. При
этом выражение для квадрата приращения интервала dS2 вновь примет
вид (7.7), отличными от нуля будут лишь следующие компоненты метри-
ческого тензора: g11=g22=g33=1, g44=-с2, значения которых обычно называ-
ются “галилеевыми”, остальные же компоненты с несовпадающими ин-
дексами окажутся равными нулю. Таким образом, в отсутствии истинно-
го гравитационного поля геометрия пространства-времени является псевдо-
евклидовой, геометрией Минковского.
     Совершенно иная ситуация возникает в том случае, когда имеется
истинное гравитационное поле. В этом случае никакое преобразование
координат x1, x2, x3, x4 не приводит выражение (7.11) к “галилееву” виду
и компоненты метрического тензора к “галилеевым” значениям (вспом-
ним, о чем говорилось при рассмотрении геометрии поверхности сфе-
ры). Математически это следует из того, что в общем случае невозмож-
но удовлетворить шести уравнениям:
                    g12(x1,x2,x3,x4)=0 ; g23(x1,x2,x3,x4)=0 ;
                    g13(x1,x2,x3,x4)=0 ; g24(x1,x2,x3,x4)=0 ;