Теория относительности. Розман Г.А. - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

288
Для дальнейших рассуждений восстановим подобную операцию в спе-
циальной теории относительности .Светоподобный интервал между собы-
тиями (отправка светового сигнала в точку А из точки В и возвращение его в
точку В) равен нулю: т.е. dS
2
=0, откуда
dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- dx
4
2
= 0
или
222
4
dzdydxdx ++±=
(8.5)
Для определения времени d
τ
, прошедшего в точке В между отправ-
кой и возвращением сигнала, запишем и сравним между собой времен-
ные координаты отправки и возвращения светового сигнала. Отправка
сигнала произошла в момент времени (x
4
-dx
4
), соответственно возвра-
щение сигнала произошло в момент времени (x
4
+dx
4
), время движения
сигнала 2dx
4
.
Отсюда, с учетом значения g
44
= -1 (т.к мы приняли в данной задаче,
что х
4
=сt), формула (8.2) запишется так:
(
)
2/1
222
4
2
2
dzdydx
cc
dx
d ++==
τ
Подставляя это в формулу (8.4), получаем выражение, определяю-
щее расстояние между двумя бесконечно близкими точками:
222222
2
22
dzdydxdzdydx
c
cd
cdl ++=++⋅=
τ
=
,
что и следовало ожидать для “плоских “ евклидовой и псевдоевклидо-
вой геометрий.
Проведем аналогичные рассуждения и для случая неевклидовой гео-
метрии, где метрика задается формулой (7.11):
∑
⋅=
βαβα
dxdxgdS
,
2
, где
α
,
β
= 1,2,3,4. (7.11)
Как и в задаче, рассмотренной выше, воспользуемся процессом рас-
пространения светового сигнала между точками B и А. В этом случае
интервал для процесса распространения света также является светопо-
добным, т.е dS
2
=0. Запишем его подробно:
dS
2
= 0 = g
11
dx
1
2
+ g
22
dx
2
2
+ g
33
dx
3
2
+ g
44
dx
4
2
+ 2g
12
dx
1
.dx
2
+ 2g
13
dx
1
dx
3
+
2g
14
dx
1
dx
4
+ 2g
23
dx
2
dx
3
+ +2g
24
dx
2
dx
4
+ 2g
34
dx
3
dx
4
.
                                                                                    288
    Для дальнейших рассуждений восстановим подобную операцию в спе-
циальной теории относительности .Светоподобный интервал между собы-
тиями (отправка светового сигнала в точку А из точки В и возвращение его в
точку В) равен нулю: т.е. dS2=0, откуда
                           dx2 + dy2 + dz2 - dx42 = 0
или
                              dx4 = ± dx 2 + dy 2 + dz 2                    (8.5)
    Для определения времени d τ , прошедшего в точке В между отправ-
кой и возвращением сигнала, запишем и сравним между собой времен-
ные координаты отправки и возвращения светового сигнала. Отправка
сигнала произошла в момент времени (x4 -dx4), соответственно возвра-
щение сигнала произошло в момент времени (x4+dx4 ), время движения
сигнала 2dx4 .
     Отсюда, с учетом значения g44= -1 (т.к мы приняли в данной задаче,
что х4 =сt), формула (8.2) запишется так:

                          dτ =
                                  2 dx4 2 2
                                    c
                                              (
                                       = dx + dy 2 + dz 2
                                        c
                                                          1/ 2
                                                               )
   Подставляя это в формулу (8.4), получаем выражение, определяю-
щее расстояние между двумя бесконечно близкими точками:
                dτ c 2
            dl = c= ⋅     dx 2 + dy 2 + dz 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ,
                 2 2 c
что и следовало ожидать для “плоских “ евклидовой и псевдоевклидо-
вой геометрий.
    Проведем аналогичные рассуждения и для случая неевклидовой гео-
метрии, где метрика задается формулой (7.11):
                     dS 2 =   ∑ gα , β dxα ⋅ dxβ ,   где α , β = 1,2,3,4.   (7.11)

    Как и в задаче, рассмотренной выше, воспользуемся процессом рас-
пространения светового сигнала между точками B и А. В этом случае
интервал для процесса распространения света также является светопо-
добным, т.е dS2=0. Запишем его подробно:
 dS2 = 0 = g11dx12 + g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1.dx2 + 2g13dx1dx3 +
            2g14dx1dx4 + 2g23dx2dx3 + +2g24dx2dx4 + 2g34dx3dx4.

Страницы