Теория относительности. Розман Г.А. - 193 стр.

                                                                                                        289
     Более компактно это выражение можно записать так:
                         g44dx42 + 2gi4dxi dx4 + gikdxi .dxk = 0, (8.6)
где i,k = 1,2,3.
      При составлении этого уравнения мы опустили знак суммирования ,
что часто практикуется в физической научной литературе, при этом руко-
водствуются следующим правилом: если сомножители имеют повторяю-
щиеся индексы, то по ним ведется суммирование. Выражение (8.6) записано
согласно этому правилу. Выражение (8.6) по форме является квадратным урав-
нением относительно величины dx4. Его решение запишется так:

            dx4 =
                     1
                    g 44
                         [
                         − g 4i dxi + ((g 4i g 4 k − gik g 44 )dxi dxk )1 / 2 ,    ]            (8.7)
где использовано легко проверяемое тождество
                 (-gi4 dxi ) 2 = (-gi4 dxi )(-gk4 dxk) = gi4 gk4 dxi dxk.
    Кроме того, перед квадратным корнем взят только знак (+), т.к. dx4>0.
    Прежде чем перейти к собственному времени по формуле (8.2), уч-
тем, что в этом выражении стоит суммарная величина , учитывающая
движение светового луча от В к А и его возвращение снова к В. Поэтому
у dx’4 поставим знак штриха. Но при удвоении величины dx’4 (время
движения “туда” и “обратно”) необходимо учесть, что в первой части
пути светового луча dхi >0 (направление от точки В к точке А считается
положительным на оси 0х), во второй части пути (возвращение к точке
А) - dxi <0. Поэтому складывая выражение (8.7) для нахождения полно-
го времени движения луча, получаем:
                                         2
                              dx4′ =         (g4i g4k − gik g44 )dxi dxk 1/ 2 .                 (8.8)
                                        g 44
    Итак,
                                              2
                              dτ =                         [(g4i g4k − gik g44 )dxi dxk ]1/ 2   (8.9)
                                       c (− g 44 )1 / 2
    Таким образом, элемент длины можно рассчитать по формуле:
                                            1
                              dl =                       [(g 4i g 4k − gik g44 )dxi dxk ]1/ 2   (8.10)
                                     (− g44 )     1/ 2


   Обычно используется не величина dl, а dl2, поэтому возведем во вто-
рую степень выражение (8.10):