Теория относительности. Розман Г.А. - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

291
Проведя элементарные преобразования (привести к общему знаменате-
лю под знаком корня, вынести из-под корня сdt, поменять члены местами,
ввести обозначение для мнимой единицы), формуле (9.1) можно придать иной
вид:
()
.
2/1
22222
3
dtcdzdydxi
dt
mcE
−++
=
(9.2)
Рассматривая dx ,dy, dz, dt кaк независимые переменные, нетрудно убе-
диться в справедливости тождества:
()
()
()
()
()
,
2/1
22222
2/1
22222
2
dt
dS
dtcdzdydx
dt
dtcdzdydx
dtc
∂
∂
=
=−++
∂
∂
=
−++
−
(9.3)
где учтено, что dS
2
=dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- c
2
dt
2
. Используя тождество (9.3), фор-
мулу (9.2) можно записать так:
(
)
()
dt
dS
i
mc
E
∂
∂
−=
(9.4)
В гравитационном поле выражение для элемента интервала обоб-
щено формулой (7.11):
2/1
4
1,
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
βα
βαβα
dxdxgdS
(9.5)
Далее для удобства будем обозначать через x
1
=x, x
2
=y, х
3
=z, x
4
=t.
Предполагая, что формула (9.4) с учетом (9.5) справедлива и при нали-
чии гравитационного поля (что впоследствии оправдывается получаю-
щимися следствиями), получим для вычисления энергии следующее вы-
ражение:
() ()
4
2/1
4
1,
,
4
dxi
mc
dxdxg
dxi
mc
E
∂
∂
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅−=
∑
=
βα
βαβα
(g
11
dx
1
2
+
+ g
22
dx
2
2
+ g
33
dx
3
2
+ g
44
dx
4
2
+ 2g
12
dx
1
dx
2
+ 2g
13
dx
1
dx
3
+ +2g
14
dx
1
dx
4
++
2g
23
dx
2
dx
3
+
                                                                                                             291
    Проведя элементарные преобразования (привести к общему знаменате-
лю под знаком корня, вынести из-под корня сdt, поменять члены местами,
ввести обозначение для мнимой единицы), формуле (9.1) можно придать иной
вид:
                                                            dt
                             E = mc 3                                                .
                                         (
                                        i dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt 2    )  1/ 2                   (9.2)

    Рассматривая dx ,dy, dz, dt кaк независимые переменные, нетрудно убе-
диться в справедливости тождества:

                         − c 2dt
                                                 =
                                                        ∂
                                                           ( dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt 2  )
                                                                                           1/ 2
                                                                                                =
      (dx   2        2        2
                + dy + dz − c dt   2
                                         )
                                        2 1/ 2       ∂ (dt )
                       ∂(dS )                                                                        (9.3)
                     =        ,
                       ∂(dt )
где учтено, что dS2=dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2. Используя тождество (9.3), фор-
мулу (9.2) можно записать так:
                                                          mc ∂ (dS )
                                                 E=−                                                 (9.4)
                                                           i ∂ (dt )
   В гравитационном поле выражение для элемента интервала обоб-
щено формулой (7.11):
                                                                                     1/ 2
                                                      ⎛ 4                      ⎞
                                                 dS = ⎜    ∑   gα , β dxα dx β ⎟
                                                      ⎜ α , β =1               ⎟                     (9.5)
                                                      ⎝                        ⎠
   Далее для удобства будем обозначать через x1 =x, x 2 =y, х 3=z, x 4=t.
Предполагая, что формула (9.4) с учетом (9.5) справедлива и при нали-
чии гравитационного поля (что впоследствии оправдывается получаю-
щимися следствиями), получим для вычисления энергии следующее вы-
ражение:
                                                                  1/ 2
                    mc    ∂ ⎛⎜ 4                          ⎞                   mc ∂
                E=−    ⋅            ∑     gα , β dxα dx β ⎟
                     i ∂ (dx4 ) ⎜⎝ α , β =1               ⎟
                                                                         =−              (g dx 2 +
                                                                               i ∂ (dx4 ) 11 1
                                                          ⎠
  + g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1dx2 + 2g13dx1dx3 + +2g14dx1dx4 ++
                                 2g23 dx2dx3 +

Страницы