Теория относительности. Розман Г.А. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

292
+ 2g
24
dx
2
dx
4
+
2/1
4334
)2 dxdxg
. (9.6)
Выполняя дифференцирование, получим:
2/1
4
1,
,
114224334444
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
−=
∑
=
βα
βαβα
dxdxg
dxgdxgdxgdxg
i
mc
E
. (9.7)
В том случае, когда гравитационное поле достаточно слабое, компонен-
ты метрического тензора должны мало отличаться от своих “галилеевых”
значений ( 1,1,1,-с
2
) и можно считать, что
g
11
=g
22
=g
33
=1+ p; g
44
=-c
2
(1+q);
,
,,
βαβα
rg =
причем
β
α
≠
, а р, q,
αβ
r
малы по сравнению с единицей. Тогда выра-
жение для энергии примет вид (детальный вывод этого соотношения
дан в Приложении 1.):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−+=
2
14
2
24
2
34
2
1
c
u
r
c
u
r
c
u
rqmcE
x
y
z
()
,
22
222211
2/1
2
34
2
24
2
14
2
23
2
13
2
12
2
2
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−−−+−+
c
u
r
c
u
r
c
u
r
c
uu
r
c
uu
r
c
uu
rp
c
u
q
z
y
x
zy
zx
yx
(9.8)
где использованы обозначения
.,,
321
zyx
u
dt
dx
u
dt
dx
u
dt
dx
===
Учитывая условие рассматриваемой задачи (слабость гравитацион-
ного поля), пренебрежем членами второго порядка малости по сравне-
нию с q и
2
2
c
u
(т.е. отбросим члены, содержащие р и
αβ
r
). Тогда форму-
ла (9.8) существенно упрощается и записывается так:
                                                                                                   292

               + 2g24dx2dx4 + 2 g34 dx3dx4 )1 / 2 .                                        (9.6)
    Выполняя дифференцирование, получим:
                           mc g44 dx4 + g34 dx3 + g24 dx2 + g14 dx1
                     E=−                                     1/ 2
                            i        ⎛ 4                    ⎞
                                     ⎜ α∑
                                     ⎜      gα , β dxα dx β ⎟       .                      (9.7)
                                                            ⎟
                                     ⎝ , β =1               ⎠
    В том случае, когда гравитационное поле достаточно слабое, компонен-
ты метрического тензора должны мало отличаться от своих “галилеевых”
значений ( 1,1,1,-с2) и можно считать, что
                g11=g22=g33=1+ p; g44=-c2(1+q); gα , β = rα , β ,
причем α ≠ β , а р, q, rαβ малы по сравнению с единицей. Тогда выра-
жение для энергии примет вид (детальный вывод этого соотношения
дан в Приложении 1.):
                                 ⎛           u        uy      u ⎞
                       E = mc 2 ⎜⎜1 + q − r34 2z − r24 2 − r14 2x ⎟⎟
                                 ⎝           c        c       c ⎠

                                                                              −1 / 2
      ⎛            2            u u                     u u              ⎞
      ⎜1 + q − u (1 + p ) − 2r12 x y − 2r13 u xuz − 2r23 y z − 2r14 ux − ⎟
                   2               2           2           2         2
      ⎜          c               c           c           c          c ⎟                ,
      ⎜         uy          u                                            ⎟                  (9.8)
      ⎜⎜ − 2r24      − 2 r34 2z                                          ⎟⎟
                  2
       ⎝        c           c                                             ⎠
где использованы обозначения
                             dx1       dx        dx
                                 = ux , 2 = u y , 3 = uz .
                             dt         dt        dt
    Учитывая условие рассматриваемой задачи (слабость гравитацион-
ного поля), пренебрежем членами второго порядка малости по сравне-
              u2
нию с q и        (т.е. отбросим члены, содержащие р и rαβ ). Тогда форму-
              c2
ла (9.8) существенно упрощается и записывается так:

Страницы