Теория относительности. Розман Г.А. - 194 стр.

                                                                                    290

                                ⎛      g g ⎞
                        dl 2 = ⎜⎜ gik − i 4 k 4 ⎟⎟dxi dxk .                 (8.11)
                                ⎝        g44 ⎠
    Мы получили пространственную часть квадрата интервала dS2 , ее
так и называют пространственным интервалом. Роль пространствен-
ного метрического тензора играет величина
                                           gi 4 g k 4
                        γ ik = gik −                  .                     (8.12)
                                             g44
    Поэтому формуле (8.11) можно придать следующий вид, используя
(8.12):
                        dl = (γ ik dxi dxk )1 / 2              (8.13)
    Если можно ввести единое время, т.е. величина γ ik не будет зависеть
от времени, то формула (8.13) позволяет определить расстояние между
двумя бесконечно близкими точками.

        §9. Нахождение компонент метрического тензора

     В §7 мы установили, что отличие геометрии пространств – времени
от Евклидовой можно определить не только путем нахождения формул
преобразования для перехода от одной СО к другой, но и путем нахож-
дения компонент метрического тензора. Отличие их от галилеевых зна-
чений ( 1, 1, 1, -1) покажет не евклидовость геометрии в рассматривае-
мой задаче. В данном параграфе мы покажем, как можно определить
компоненты метрического тензора.
     Выразим энергию материальной точки через элемент интервала.
Сначала сделаем это в рамках специальной теории относительности,
т.е. в отсутствии гравитационного поля. Ограничимся малыми скорос-
тями, что существенно упростит решение поставленной задачи.
     Воспользуемся формулой для энергии свободно движущейся мате-
риальной точки:
                         mc 2                             mc 2
                 E=             1/ 2
                                       =                         1/ 2
                                                                        .
                      ⎛ u2 ⎞               ⎛ dx 2 + dy 2 + dz 2 ⎞
                      ⎜1 − 2 ⎟             ⎜1 −                 ⎟           (9.1)
                      ⎜ c ⎟                ⎜       c 2 dt 2     ⎟
                      ⎝      ⎠             ⎝                    ⎠