Теория относительности. Розман Г.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

157
∑
=
=+++=
4
1
22
4
2
3
2
2
2
1
2
i
i
xxxxxS
. (9.3)
В такой записи квадрат интервала можно толковать как квадрат
расстояния в 4-мерном мире (по аналогии с
2
3
2
2
2
1
2
xxxR ++=
). Так как
одно из 2-х событий, связанных интервалом, находится в начале коор-
динат, то квадрат интервала определяет квадрат 4-мерного радиус-вектора,
проведенного из начала координат в мировую точку, соответствующую вто-
рому событию. А учитывая инвариантность квадрата интервала относительно
формул преобразования Лоренца, можно сформулировать следующую тео-
рему для 4-мерного мира Минковского: квадрат
любого 4-
х
-вектора в мире
Минковского является инвариантом относительно формул преобразования
Лоренца. Мы неоднократно будем пользоваться этой теоремой.
Теперь перед нами стоит задача записать уравнения движения в 4-мер-
ной форме, через 4-мерные векторы, закон преобразования компонент кото-
рых нам известен. Мы начинаем “строить” динамику СТО.
Начнем с построения 4~
х
-вектора скорости. Чтобы получить инва-
риантную величину, нужно, согласно определению скорости, прира-
щение 4-мерного инвариантного радиус-вектора
),,,(
4321
xxxxR
r
поде-
лить на промежуток инвариантного времени, в течение которого про-
исходило движение вдоль мировой линии. Таким временем является
собственная длительность процесса.
Итак, 4~
х
-вектор скорости вводится по определению при помощи
следующего соотношения (в дальнейшем запись приращений будем ве-
сти в дифференциальной форме, для собственного времени введем обо-
значение
τ
(тау) ):
τ
d
xxxxRd
V
),,,(
4321
r
r
=
. (9.4)
Спроектируем этот вектор на оси четырехмерной системы координат
введенного нами четырехмерного мира Минковского:
.,,,
4
4
3
3
2
2
1
1
ττττ
d
dx
V
d
dx
V
d
dx
V
d
dx
V ====
(9.5)
Перейдем к относительному (будем его называть “лабораторным”)
времени согласно формуле (6.9), записанной в дифференциальной форме:
                                                                          157

                                                     4
                  S 2 = x12 + x 22 + x 32 + x 42 = ∑ x i2 .       (9.3)
                                                    i =1

    В такой записи квадрат интервала можно толковать как квадрат
расстояния в 4-мерном мире (по аналогии с R 2 = x12 + x22 + x 32 ). Так как
одно из 2-х событий, связанных интервалом, находится в начале коор-
динат, то квадрат интервала определяет квадрат 4-мерного радиус-вектора,
проведенного из начала координат в мировую точку, соответствующую вто-
рому событию. А учитывая инвариантность квадрата интервала относительно
формул преобразования Лоренца, можно сформулировать следующую тео-
рему для 4-мерного мира Минковского: квадрат любого 4-х-вектора в мире
Минковского является инвариантом относительно формул преобразования
Лоренца. Мы неоднократно будем пользоваться этой теоремой.
    Теперь перед нами стоит задача записать уравнения движения в 4-мер-
ной форме, через 4-мерные векторы, закон преобразования компонент кото-
рых нам известен. Мы начинаем “строить” динамику СТО.
    Начнем с построения 4~х-вектора скорости. Чтобы получить инва-
риантную величину, нужно, согласно определению скорости,             прира-
                                                              r
щение 4-мерного инвариантного радиус-вектора R( x1 , x2 , x3 , x4 ) поде-
лить на промежуток инвариантного времени, в течение которого про-
исходило движение вдоль мировой линии. Таким временем является
собственная длительность процесса.
    Итак, 4~х-вектор скорости вводится по определению при помощи
следующего соотношения (в дальнейшем запись приращений будем ве-
сти в дифференциальной форме, для собственного времени введем обо-
значение τ (тау) ):
                              r
                           r dR( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )
                          V =                           .         (9.4)
                                      dτ
    Спроектируем этот вектор на оси четырехмерной системы координат
введенного нами четырехмерного мира Минковского:
                         dx1       dx       dx       dx
                  V1 =       , V2 = 2 , V3 = 3 , V4 = 4 .         (9.5)
                         dτ        dτ       dτ       dτ
    Перейдем к относительному (будем его называть “лабораторным”)
времени согласно формуле (6.9), записанной в дифференциальной форме:

Страницы