Теория относительности. Розман Г.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

191
даются формулами (9.6), (9.7):
,
1
2
2
c
u
u
V
i
i
−
=
i = l, 2, 3;
.
1
2
2
4
c
u
ic
V
−
=
Уравнение движения принимает вид:
()
,
ii
fmV
d
d
=
τ
4,3,2,1
=
i
(14.2)
где введены обозначения:
,
1
,
1
,
1
2
2
3
2
2
2
2
2
1
c
u
F
f
c
u
F
f
c
u
F
f
z
y
x
−
=
−
=
−
=
a f
4
определяется ниже. В такой записи левая сторона уравнения движе-
ния уже выражена через величины, образующие инварианты.
Найдем явное выражение для четвертой компоненты 4
-х
-мерного
вектора силы f
4
. Для этого умножим все проекции 4
-х
-мерного вектора
скорости V
i
, на соответствующие проекции 4
-х
-мерного вектора силы и
сложим эти произведения (мы получим так называемое 4
-х
-мерное ска-
лярное произведение двух 4
-х
-мерных векторов):
() () ()
()
,
44
33221144332211
mV
d
d
V
mV
d
d
VmV
d
d
VmV
d
d
VfVfVfVfV
τ
τττ
+
+++=+++
где использованы значения проекций 4
-х
-мерного вектора силы, исходя
из формулы (14.2).
Легко убедиться, проведя дифференцирование, что предыдущее
выражение можно записать и так:
()
(
)
.
2
2
4
2
3
2
2
2
1
VVVV
d
dm
fV +++=
τ
r
. (14.4)
Но в скобках стоит 4
-x
-мерный инвариант, равный постоянной ве-
личине (см. формулу (9.8)), производная от которой равна нулю. Следо-
вательно,
                                                                                                            191
даются формулами (9.6), (9.7):
                                    ui                                              ic
                        Vi =                   ,                         V4 =                 .
                                          u2       i = l, 2, 3;                          u2
                                1−                                              1−
                                          c2                                             c2
    Уравнение движения принимает вид:
                                d
                                   (mVi ) = f i ,               i = 1,2,3,4                            (14.2)
                                dτ
где введены обозначения:
                               Fx                              Fy                        Fz
                     f1 =                  ,       f2 =                  ,   f3 =                  ,
                                      2                              2
                                  u                              u                            u2
                             1−                           1−                        1−
                                    c2                              c2                        c2
a f4 определяется ниже. В такой записи левая сторона уравнения движе-
ния уже выражена через величины, образующие инварианты.
     Найдем явное выражение для четвертой компоненты 4 -х-мерного
вектора силы f4 . Для этого умножим все проекции 4-х-мерного вектора
скорости Vi , на соответствующие проекции 4-х-мерного вектора силы и
сложим эти произведения (мы получим так называемое 4-х-мерное ска-
лярное произведение двух 4-х-мерных векторов):
                                                     d
      V1 f 1 + V 2 f 2 + V3 f 3 + V 4 f 4 = V1          (mV1 ) + V2 d (mV2 ) + V3 d (mV3 ) +
                                                     dτ             dτ            dτ
             d
      + V4      (mV4 ),
             dτ
где использованы значения проекций 4-х-мерного вектора силы, исходя
из формулы (14.2).
    Легко убедиться,   проведя дифференцирование, что предыдущее
выражение можно записать и так:

                                (Vrf ) = m2 ddτ (V        1
                                                           2
                                                               + V22 + V32 + V 42 . .)                 (14.4)
    Но в скобках стоит 4 -x-мерный инвариант, равный постоянной ве-
личине (см. формулу (9.8)), производная от которой равна нулю. Следо-
вательно,

Страницы