Теория относительности. Розман Г.А. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

195
§15. Релятивистское трехмерное уравнение движения
Рассмотрим релятивистское уравнение движения в лабораторной СО
(см. формулу (14.1)). Учтем при этом, что три пространственные компо-
ненты релятивистского импульса определяются выражением
P
r
=
2
2
1
c
u
um
−
r
(см. 10.2).
Тогда уравнение (14.1) запишется так:
F
c
u
um
dt
d
r
r
=
−
2
2
1
, (15.1)
где m — инвариантная масса.
Раскроем производную по времени в левой части уравнения (15.1)
как производную от произведения:
.
111
2
2
2
2
2
2
c
u
m
dt
d
u
dt
ud
c
u
m
c
u
um
dt
d
−
+
−
=
−
r
r
r
(15.2)
Преобразуем второе слагаемое, умножив и разделив его предва-
рительно на с
2
:
()
,
1
2
2
2
2
2
uF
c
u
c
u
mc
dt
d
c
u
r
r
r
r
=
−
где использована формула (14.9).
После элементарных перестановок уравнение (15.1) принимает вид:
()
.1
2
2
2
c
u
uF
c
u
F
dt
ud
m −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
r
r
r
r
r
(15.3)
Это уравнение является общей формой записи релятивистского уравне-
ния движения в трехмерной форме. Иными словами, это есть формула 2-го
                                                                                                        195


      §15. Релятивистское трехмерное уравнение движения

    Рассмотрим релятивистское уравнение движения в лабораторной СО
(см. формулу (14.1)). Учтем при этом, что три пространственные компо-
ненты релятивистского импульса определяются выражением
                                        r
                       r               mu
                       P=                                                            (см. 10.2).
                                         u2
                                   1−
                                         c2
   Тогда уравнение (14.1) запишется так:
                                    r          r
                       d           mu
                                              =F
                       dt               u2
                                   1−                     ,                                        (15.1)
                                        c2
где m — инвариантная масса.
    Раскроем производную по времени в левой части уравнения (15.1)
как производную от произведения:
                       r                                   r
                 d    mu                     m            du r d            m
                                   =                         +u                      .
                 dt        u   2
                                                 u   2    dt    dt              u2
                      1−                1−                                1−                       (15.2)
                           c2                    c2                             c2
    Преобразуем второе слагаемое,                         умножив           и        разделив его предва-
рительно на с2 :
                                r                                  r
                                u d          mc 2
                                                              =     ( )
                                                                  u rr
                                                                     Fu ,
                               c 2 dt                u2           c2
                                            1−
                                                     c2
где использована формула (14.9).
    После элементарных перестановок уравнение (15.1) принимает вид:
                             r         r
                       m
                            du ⎡ r u r r ⎤       u2
                               = ⎢ F − 2 Fu ⎥ 1 − 2 .
                            dt ⎣
                                                          ( )                                      (15.3)
                                      c     ⎦    c
    Это уравнение является общей формой записи релятивистского уравне-
ния движения в трехмерной форме. Иными словами, это есть формула 2-го

Страницы