Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 100 стр.

òàëñÿ ïðîâåðèòü îïûòíûì ïóòåì, ðàâíà ëè ñóììà óãëîâ òðåóãîëü-   ñëàãàåìîå â (7.7) ïî-ïðåæíåìó áóäåò âõîäèòü ñ òåì æå
íèêà â åãî ãåîìåòðèè 1800. K ñîæàëåíèþ, îïûòû Ëîáà÷åâñêîãî      êîýôôèöèåíòîì (-ñ2).
îêîí÷èëèñü íåóäà÷íî, äà îíè è íå ìîãëè îêîí÷èòüñÿ èíà÷å, òàê        Åñëè æå ïåðåéòè ê ïðîèçâîëüíîé óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ,
êàê â îêîëîçåìíîì ïðîñòðàíñòâå îòñòóïëåíèÿ îò ãåîìåòðèè Åâê-    òî ïðàâàÿ ñòîðîíà ôîðìóëû (7.7) èçìåíèòñÿ ñóùåñòâåííî.
ëèäà ñëèøêîì ìàëû, ÷òîáû ìîãëè áûòü îáíàðóæåíû òåõíèêîé         Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïåðåõîä ê ÑÎ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ
(ïðèáîðàìè) íà÷àëà XIX â. Ïîýòîìó äî ñîçäàíèÿ À. Ýéíøòåé-       ðàâíîìåðíî óñêîðåííî âäîëü îñè 0x.
íîì îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè íå âîçíèêàëî ñåðüåçíûõ ñî-          íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ
ìíåíèé âî âñåîáùåé ñïðàâåäëèâîñòè çàêîíîâ ãåîìåòðèè Åâêëè-      êîîðäèíàò è âðåìåíè çàïèøóòñÿ òàê:
äà. Òåì áîëåå, ÷òî îïûò ãåîäåçèè, òîïîãðàôèè, àñòðîíîìèè, àð-
                                                                                                    at 2
õèòåêòóðû è ò.ä. ñâèäåòåëüñòâîâàë î “ïðàâèëüíîñòè” ýòîé ãåî-                 x = x′ + OO ′ = x′ +        ; y = y’; z = z’; t = t’.
                                                                                                     2
ìåòðèè.
     Äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ïîèñêà “èñòèííîé” ãåîìåòðèè ìèðà,              Ñîñòàâèì äèôôåðåíöèàëû êîîðäèíàò è âðåìåíè:
âñïîìíèì, ÷òî óæå â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè                   dx = dx’+ atdt; dy = dy’; dz = dz’; dt = dt’ .
ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáúåäèíÿþòñÿ â åäèíîå ÷åòûðåõìåðíîå            Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ñòîðîíó (7.7),èñïîëüçóÿ ýòè
ìíîãîîáðàçèå, â êîòîðîì ðîëü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ             ïðèðàùåíèÿ:
áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ìèðîâûìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåòñÿ                     ds2 = dx’2 + dy’2 + dz2 + 2a.t’dx’.dt’- (ñ2 - a2.t’2)dt’2   (7.8)
äèôôåðåíöèàëîì èíòåðâàëà:                                           Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàâíîìåðíî âðàùàþùóþñÿ ÑÎ, ôîðìóëû
                 ds2= dx2+dy2+dz2- c2dt2 .            (7.7)     ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå ê
     Èç âûðàæåíèÿ (7.7) ñëåäóåò, ÷òî êâàäðàò ÷åòûðåõìåðíîãî     “íåïîäâèæíîé” CÎ îò âðàùàþùåéñÿ èìåþò âèä:
ýëåìåíòàðíîãî “ðàññòîÿíèÿ” - èíòåðâàëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå     õ = õ’ñîs ω t’- y’sin ω t’; y = y’cos ω t’ + x’sin ω t’; z = z’; t = t’ .
àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò             Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ñîñòàâëÿåì äèôôåðåíöèàëû
õ,ó,z ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè åäèíèöå, è          êîîðäèíàò è âðåìåíè:
êâàäðàòó äèôôåðåíöèàëà âðåìåíè ñ êîýôôèöèåíòîì, îòëè÷íûì              dx = dx’cos ω t’- dy’sin ω t’- ω (õ’sin ω t’+ ó’cos ω t’).dt’;
îò åäèíèöû è ðàâíûì (-ñ2), ãäå ñ - ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå.         dy = dy’cos ω t’+ dx’sin ω t’+ ω (õ’cos ω t’- ó’sin ω t’).dt’;
Âûðàæåíèå (7.7) èíâàðèàíòíî, ò.å. èìååò îäèí è òîò æå âèä è                                 dz = dz’; dt = dt’.
÷èñëîâîå çíà÷åíèå, åñëè äëÿ ïåðåâîäà îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé          Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (7.7),èñïîëüçóÿ ïîñëåäíèå
ÈÑÎ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è        ðàâåíñòâà; êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà ïðèíèìàåò âèä:
âðåìåíè Ëîðåíöà (ñì. §2,÷àñòü2). Íî òàê êàê êîýôôèöèåíò ó             ds2=dx’2+dó’2+dz’2+[ ω 2(x’2+y’2)- c2]dt’2-2 ω y’dx’dt’+
äèôôåðåíöèàëà âðåìåíè îòëè÷åí îò åäèíèöû, õîòÿ è ïîñòîÿíåí,                 + 2 ω x’dy’dt’                                        (7.9)
ãîâîðÿò, ÷òî ãåîìåòðèÿ ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè          Òàêèì îáðàçîì, â óñêîðåííî äâèæóùèõñÿ ÑÎ êâàäðàò
â ÑÒÎ óæå íå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé è åå îáû÷íî íàçûâàþò           ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà ñîäåðæèò íå òîëüêî êâàäðàòû
“ïñåâäîåâêëèäîâîé” (ïî÷òè åâêëèäîâîé).                          äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò è âðåìåíè, íî è ïðîèçâåäåíèÿ
     Åñëè âìåñòî ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (äåêàðòîâûõ         äèôôåðåíöèàëîâ ðàçíûõ êîîðäèíàò, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ýòîé
êîîðäèíàò õ,ó,z) ââåñòè êðèâîëèíåéíûå (öèëèíäðè÷åñêèå,          êâàäðàòè÷íîé ôîðìû â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè
ñôåðè÷åñêèå è äð.) êîîðäèíàòû, òî èçìåíèòñÿ âûðàæåíèå           âåëè÷èíàìè, ê òîìó æå êîýôôèöèåíòû ó ÷ëåíîâ, ñîäåðæàùèõ
ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòè äèôôåðåíöèàëà èíòåðâàëà, íî ïîñëåäíåå    ñìåøàííûå ïðîèçâåäåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò è âðåìåíè,

196                                                                                                                                   197