Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

194
195
ìíîãîîáðàçèåì (ñ ïëîñêèì ïðîñòðàíñòâîì), â êîòîðîì
ñïðàâåäëèâû çàêîíû ãåîìåòðèè Åâêëèäà (ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå
óòâåðæäåíèå: åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïîñòóëàòû Åâêëèäà, òî òàêîå
ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì).  ÷àñòíîñòè, ñóììà óãëîâ
ëþáîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè ðàâíà 180
0
, è äëÿ ëþáîãî
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ïèôàãîðà.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ òðåõìåðíîãî
ïðîñòðàíñòâà. Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè òàêæå âûðàæàåòñÿ ñóììîé
êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò õ, y, z ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè åäèíèöå:
dl
2
=dx
2
+dy
2
+dz
2
. (7.4)
Ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû,
íàïðèìåð, öèëèíäðè÷åñêèå èëè ñôåðè÷åñêèå (ðèñ.11 è 12):
dl
2
=dr
2
+
ρ
2
d
ϕ
2
+ dz
2
(7.5)
è
dl
2
=dr
2
+ r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
+ r
2
d
θ
2
. (7.6)
Îäíàêî êàê è â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè, ìû âñåãäà
ìîæåì âåðíóòüñÿ îò êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâûì è
ïðèâåñòè òåì ñàìûì âûðàæåíèå dl
2
ê ñóììå êâàäðàòîâ
äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò ñ åäèíè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè.
ßñíî, ÷òî òàêàÿ âîçìîæíîñòü îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî â
ðàññìàòðèâàåìîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãîâîðÿò î
ìíîãîîáðàçèè) ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà. Òàêîå
ìíîãîîáðàçèå (ïðîñòðàíñòâî) ïðèíÿòî íàçûâàòü ïëîñêèì (ïî
àíàëîãèè ñ äâóõìåðíûì ïëîñêèì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì).
Ýòèì ýïèòåòîì îòìå÷àåòñÿ ëèøü òî, ÷òî è â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà.
Ñîâåðøåííî èíîå ïîëîæåíèå ìû îáíàðóæèâàåì â ñëó÷àå
êðèâûõ ïðîñòðàíñòâ (ìíîãîîáðàçèé), â êîòîðûõ çàêîíû ãåî-
ìåòðèè Åâêëèäà íåâåðíû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè òàêîãî êðè-
âîãî ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìîòðèì ãåîìåòðèþ íà ïîâåðõíîñòè ñôå-
ðû. Òî, ÷òî ïîâåðõíîñòü êðèâàÿ, íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ, îíà
äâóõìåðíàÿ, êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè íà ïîâåðõ-
íîñòè ñôåðû èçìåðÿåòñÿ îòðåçêîì
äóãè áîëüøîãî êðóãà, êîòîðàÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ àíàëîãîì ïðÿìîé â ïëîñ-
êîì (åâêëèäîâîì) ïðîñòðàíñòâå.
Íà ðèñ.13 ïîêàçàíî, ÷òî â ñôå-
ðè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå, ñòîðîíàìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îòðåçêè äóã
áîëüøîãî êðóãà, ñóììà óãëîâ íå
ðàâíà 180
0
. Íàïðèìåð, â ñôåðè÷åñ-
êîì òðåóãîëüíèêå, îáðàçîâàííîì
äóãîé ýêâàòîðà è äâóìÿ ìåðèäèàíà-
ìè, ñõîäÿùèìèñÿ â ïîëþñå ïîä ïðÿ-
ìûì óãëîì äðóã ê äðóãó, ñóììà óã-
ëîâ ðàâíà 270
0
. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ
êðèâîé ïîâåðõíîñòè ñôåðû òåî-
ðåìà Ïèôàãîðà, äà è íåêîòîðûå
äðóãèå ïîëîæåíèÿ ïëîñêîé ãåîìåò-
ðèè íåïðèãîäíû. Òàê, êâàäðàò ðàñ-
ñòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî
áëèçêèìè òî÷êàìè ðàâåí:
dl
2
=dr
2
+ r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
+ r
2
d
θ
2
è íèêàêèì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäè-
íàò ýòî âûðàæåíèå íå ñâåñòè ê (7.4).
Ãåîìåòðèÿ, êàê íàóêà î ñâîé-
ñòâàõ ðåàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ÿâ-
ëÿåòñÿ â îñíîâå ñâîåé íàóêîé îïûò-
íîé. Àêñèîìû è ïîñòóëàòû ãåîìåò-
ðèè íå ÿâëÿþòñÿ èçíà÷àëüíûìè èñ-
òèíàìè, âðîæäåííûìè ïðåäñòàâëå-
íèÿìè ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà, à ÿâ-
ëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ìíîãîâåêîâî-
ãî îïûòà. Ýòî ïîíèìàë çíàìåíèòûé
ðîññèéñêèé ìàòåìàòèê íà÷àëà
XIXâ. Í. Ëîáà÷åâñêèé, êîãäà, ïî-
ñòðîèâ ïåðâóþ â èñòîðèè ìàòåìà-
òèêè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ, ïû-
Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
Ðèñ. 11.
ϕ
ρ
O
()
ϕρ
′
,P
()
zP,,
ϕρ
y
x
z
Ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
θ
r
ϕ
P
′
()
ϕθ
,,rP
O
z
y
x
Ðèñ. 12.
Ðèñ. 13.
o
90
o
90
o
90
ìíîãîîáðàçèåì” (ñ “ïëîñêèì” ïðîñòðàíñòâîì), â êîòîðîì          íîñòè ñôåðû èçìåðÿåòñÿ îòðåçêîì
ñïðàâåäëèâû çàêîíû ãåîìåòðèè Åâêëèäà (ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå   äóãè áîëüøîãî êðóãà, êîòîðàÿ ÿâ- Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà
óòâåðæäåíèå: åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïîñòóëàòû Åâêëèäà, òî òàêîå      ëÿåòñÿ àíàëîãîì ïðÿìîé ⠓ïëîñ- êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ “ïëîñêèì”).  ÷àñòíîñòè, ñóììà óãëîâ     êîì” (åâêëèäîâîì) ïðîñòðàíñòâå.             z
ëþáîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè ðàâíà 180 0, è äëÿ ëþáîãî           Íà ðèñ.13 ïîêàçàíî, ÷òî â ñôå-
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ïèôàãîðà.      ðè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå, ñòîðîíàìè
    Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ òðåõìåðíîãî                êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îòðåçêè äóã                         P(ρ,ϕ, z )
ïðîñòðàíñòâà. Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ      áîëüøîãî êðóãà, ñóììà óãëîâ íå
ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè òàêæå âûðàæàåòñÿ ñóììîé           ðàâíà 1800. Íàïðèìåð, â ñôåðè÷åñ-           O
êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò õ, y, z ñ ïîñòîÿííûìè       êîì òðåóãîëüíèêå, îáðàçîâàííîì                                         y
                                                                                                             ϕ ρ
êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè åäèíèöå:                               äóãîé ýêâàòîðà è äâóìÿ ìåðèäèàíà-                     P′(ρ, ϕ)
                dl2=dx2+dy2+dz2.                     (7.4)     ìè, ñõîäÿùèìèñÿ â ïîëþñå ïîä ïðÿ-       x                     Ðèñ. 11.
                                                               ìûì óãëîì äðóã ê äðóãó, ñóììà óã-
    Ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû,       ëîâ ðàâíà 2700. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ
íàïðèìåð, öèëèíäðè÷åñêèå èëè ñôåðè÷åñêèå (ðèñ.11 è 12):        “êðèâîé” ïîâåðõíîñòè ñôåðû òåî-            Ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìà
               dl2=dr2+ ρ 2d ϕ 2 + dz2                (7.5)    ðåìà Ïèôàãîðà, äà è íåêîòîðûå êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
è                                                              äðóãèå ïîëîæåíèÿ ïëîñêîé ãåîìåò-
               dl2=dr2 + r2sin2 θ d ϕ 2 + r2d θ 2 .   (7.6)    ðèè íåïðèãîäíû. Òàê, êâàäðàò ðàñ-             z
                                                               ñòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî
     Îäíàêî êàê è â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè, ìû âñåãäà   áëèçêèìè òî÷êàìè ðàâåí:
ìîæåì âåðíóòüñÿ îò êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâûì è           dl2=dr2 + r2sin2 θ d ϕ 2 + r2d θ 2                P(r , θ, ϕ)
ïðèâåñòè òåì ñàìûì âûðàæåíèå dl 2 ê ñóììå êâàäðàòîâ            è íèêàêèì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäè-                 θ
                                                                                                                   r
äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò ñ åäèíè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè.          íàò ýòî âûðàæåíèå íå ñâåñòè ê (7.4).          O
     ßñíî, ÷òî òàêàÿ âîçìîæíîñòü îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî â              Ãåîìåòðèÿ, êàê íàóêà î ñâîé-                                       y
                                                               ñòâàõ ðåàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ÿâ-               ϕ
ðàññìàòðèâàåìîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãîâîðÿò î                                                                    P′ Ðèñ. 12.
“ìíîãîîáðàçèè”) ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà. Òàêîå           ëÿåòñÿ â îñíîâå ñâîåé íàóêîé îïûò-       x
ìíîãîîáðàçèå (ïðîñòðàíñòâî) ïðèíÿòî íàçûâàòü “ïëîñêèì” (ïî     íîé. Àêñèîìû è ïîñòóëàòû ãåîìåò-
àíàëîãèè ñ äâóõìåðíûì “ïëîñêèì” åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì).     ðèè íå ÿâëÿþòñÿ èçíà÷àëüíûìè èñ-
Ýòèì ýïèòåòîì îòìå÷àåòñÿ ëèøü òî, ÷òî è â òðåõìåðíîì           òèíàìè, âðîæäåííûìè ïðåäñòàâëå-
ïðîñòðàíñòâå ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà.                    íèÿìè ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà, à ÿâ-                          90o
     Ñîâåðøåííî èíîå ïîëîæåíèå ìû îáíàðóæèâàåì â ñëó÷àå        ëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ìíîãîâåêîâî-
“êðèâûõ” ïðîñòðàíñòâ (ìíîãîîáðàçèé), â êîòîðûõ çàêîíû ãåî-     ãî îïûòà. Ýòî ïîíèìàë çíàìåíèòûé
ìåòðèè Åâêëèäà íåâåðíû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè òàêîãî “êðè-    ðîññèéñêèé ìàòåìàòèê íà÷àëà
âîãî” ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìîòðèì ãåîìåòðèþ íà ïîâåðõíîñòè ñôå-    XIXâ. Í. Ëîáà÷åâñêèé, êîãäà, ïî-                90o           90o
ðû. Òî, ÷òî ïîâåðõíîñòü “êðèâàÿ”, íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ, îíà    ñòðîèâ ïåðâóþ â èñòîðèè ìàòåìà-
äâóõìåðíàÿ, êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè íà ïîâåðõ-     òèêè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ, ïû-                               Ðèñ. 13.
194                                                                                                                                   195

Страницы