Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

198
199
íèêîãäà íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ 1 èëè 0 (îíè æå ñîäåðæàò ëèíåéíîå
óñêîðåíèå
à
r
èëè óãëîâóþ ñêîðîñòü
ω
, è òîëüêî ïðè ïåðåõîäå ê
ÈÑO ýòè ÷ëåíû èñ÷åçàþò, íî íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóþò óñêîðåííî
äâèæóùèåñÿ ÑÎ, äëÿ êîòîðûõ
0≠à
r
è
0≠
ω
).
Ìû ðàññìîòðåëè äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ óñêîðåííî
äâèæóùåéñÿ ÑÎ. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò åñòåñòâåííî îáîáùàåòñÿ
íà ïðîèçâîëüíî äâèæóùèåñÿ ÑÎ. Íî äëÿ ýòîãî öåëåñîîáðàçíî
ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (7.1).Òîãäà
êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â îáùåì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ
ïåðåìåííûõ õ
1
, õ
2
, õ
3
, x
4
çàïèøåòñÿ òàê:
dS
2
= g
11
(x
1
...x
4
) dx
1
2
+ g
22
(x
1
...x
4
) dx
2
2
+ g
33
(x
1
...x
4
) dx
3
2
+
+ g
44
(x
1
...x
4
) dx
4
2
+
+2g
12
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
2 +
2g
13
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
3
+
+ 2g
14
(x
1
...x
4
) dx
1
dx
4
+ 2g
23
(x
1
...x
4
) dx
2
dx
3
+ (7.10)
+2g
24
(x
1
...x
4
) dx
2
dx
4
+ 2g
34
(x
1
...x
4
) dx
3
dx
4
.
Ïîëó÷åííûå âûøå ôîðìóëû (7.7), (7.8) è (7.9) ÿâëÿþòñÿ
÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ôîðìóëû (7.10).  áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå
âûðàæåíèå (7.10) çàïèøåòñÿ òàê:
()
.,,,
4
1,
4321
2
∑
=
⋅=
ki
kiik
dxdxxxxxgdS
(7.11)
Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí g
ik
îáðàçóåò òàê íàçûâàåìûé
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ áóäåò ðàñêðûò íèæå.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êîýôôèöèåíòû g
ik
ñèììåòðè÷íû,
ò.å., â ñèëó ðàâíîöåííîñòè èíäåêñîâ:
g
ik
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)= g
ki
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
), (7.12)
è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò g
ik
:
g
11
, g
22
, g
ÇÇ
, g
44
, g
12
, g
13
, g
14
, g
23
, g
24
, g
34.
Ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé êîìïîíåíòû
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà g
ik
åñòåñòâåííî áóäóò èçìåíÿòüñÿ, íî êâàäðàò
ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS
2
áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì â ñèëó
åãî èíâàðèàíòíîñòè.
Ïîâòîðèì íåêîòîðûå ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûå ïîëîæåíèÿ, î
êîòîðûõ ìû óæå ãîâîðèëè ðàíåå. Â îòñóòñòâèè èñòèííîãî
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ìû âñåãäà ìîæåì ïåðåéòè îò
íåèíåðöèàëüíûõ êîîðäèíàò x
l
, x
2
, x
3
, x
4
(íàïðèìåð, îò
âðàùàþùåéñÿ èëè ðàâíîìåðíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑO) ê
êîîðäèíàòàì ÈÑO. Ïðè òàêîì ïåðåõîäå ìû îñâîáîæäàåìñÿ
îò èíåðöèîííûõ ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, êàê-òî öåíòðîáåæíûõ ñèë
èëè ñèë Êîðèîëèñà âî âðàùàþùåéñÿ CO, èëè ñèë èíåðöèè â
ðàâíîóñêîðåííî äâèæóùåéñÿ CO. Ïðè ýòîì âûðàæåíèå äëÿ
êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS
2
âíîâü ïðèìåò âèä (7.7),
îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà: g
11
=g
22
=g
33
=1, g
44
=-ñ
2
, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ
îáû÷íî íàçûâàþòñÿ ãàëèëååâûìè, îñòàëüíûå æå êîìïîíåíòû
ñ íåñîâïàäàþùèìè èíäåêñàìè îêàæóòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Òàêèì
îáðàçîì, â îòñóòñòâèè èñòèííîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâîé,
ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî.
Ñîâåðøåííî èíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà
èìååòñÿ èñòèííîå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå íèêàêîå
ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò x
1
, x
2
, x
3
, x
4
íå ïðèâîäèò âûðàæåíèå
(7.11) ê ãàëèëååâó âèäó è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ê
ãàëèëååâûì çíà÷åíèÿì (âñïîìíèì, î ÷åì ãîâîðèëîñü ïðè
ðàññìîòðåíèè ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè ñôåðû). Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî
ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî óäîâëåòâîðèòü
øåñòè óðàâíåíèÿì:
g
12
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ; g
23
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ;
g
13
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ; g
24
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ;
g
l4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ; g
34
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=0 ;
ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ x
1
, x
2
, x
3
, x
4
(ðå÷ü èäåò
î òåõ êîìïîíåíòàõ, êîòîðûå äîëæíû îòñóòñòâîâàòü â (7.11)).
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ñëåäóåò èç îòëè÷èÿ ìåæäó
èñòèííûìè è èíåðöèîííûìè ãðàâèòàöèîííûìè ïîëÿìè: ïåðâûå
èñ÷åçàþò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò èñòî÷íèêîâ ýòèõ ïîëåé,
âòîðûå æå èëè îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè (ïðè ðàâíîóñêîðåííîì
äâèæåíèè ÑÎ), èëè íàðàñòàþò ñ óäàëåíèåì îò îñè âðàùåíèÿ (îá
ýòîì ìû ãîâîðèëè â §6). Ïîýòîìó óíè÷òîæèòü ãðàâèòàöèîííîå
ïîëå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå íèêàêèì âûáîðîì ÑÎ íåâîçìîæíî.
Ïîýòîìó òîëüêî â ìàëûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà èñòèííûå
ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ ôèçè÷åñêè íåîòëè÷èìû îò èíåðöèîííûõ
ãðàâèòàöèîííûõ ïîëåé (÷èòàòåëü äîëæåí áûë îáðàòèòü âíèìàíèå,
íèêîãäà íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ 1 èëè 0 (îíè æå ñîäåðæàò ëèíåéíîå                âðàùàþùåéñÿ èëè ðàâíîìåðíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑO) ê
            r                                                               êîîðäèíàòàì ÈÑO. Ïðè òàêîì ïåðåõîäå ìû “îñâîáîæäàåìñÿ”
óñêîðåíèå à èëè óãëîâóþ ñêîðîñòü ω , è òîëüêî ïðè ïåðåõîäå ê
ÈÑO ýòè ÷ëåíû èñ÷åçàþò, íî íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóþò óñêîðåííî                  îò èíåðöèîííûõ ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, êàê-òî öåíòðîáåæíûõ ñèë
                                    r                                       èëè ñèë Êîðèîëèñà âî âðàùàþùåéñÿ CO, èëè ñèë èíåðöèè â
äâèæóùèåñÿ ÑÎ, äëÿ êîòîðûõ à ≠ 0 è ω ≠ 0 ).
     Ìû ðàññìîòðåëè äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ óñêîðåííî                   ðàâíîóñêîðåííî äâèæóùåéñÿ CO. Ïðè ýòîì âûðàæåíèå äëÿ
äâèæóùåéñÿ ÑÎ. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò åñòåñòâåííî îáîáùàåòñÿ                  êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS2 âíîâü ïðèìåò âèä (7.7),
íà ïðîèçâîëüíî äâèæóùèåñÿ ÑÎ. Íî äëÿ ýòîãî öåëåñîîáðàçíî                    îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû
ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (7.1).Òîãäà                 ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà: g11=g22=g33=1, g44=-ñ2, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ
êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â îáùåì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ                       îáû÷íî íàçûâàþòñÿ “ãàëèëååâûìè”, îñòàëüíûå æå êîìïîíåíòû
ïåðåìåííûõ õ1, õ2, õ3, x4 çàïèøåòñÿ òàê:                                    ñ íåñîâïàäàþùèìè èíäåêñàìè îêàæóòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Òàêèì
     dS2 = g11(x1...x4) dx12 + g22(x1...x4) dx22 + g33(x1...x4) dx32 +      îáðàçîì, â îòñóòñòâèè èñòèííîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
     + g44(x1...x4) dx42 +                                                  ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâîé,
     +2g12(x1...x4) dx1dx2 + 2g13(x1...x4) dx1dx3 +                         ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî.
     + 2g14(x1...x4) dx1dx4 + 2g23(x1...x4) dx2dx3 +             (7.10)          Ñîâåðøåííî èíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà
     +2g24(x1...x4) dx2dx4 + 2g34(x1...x4) dx3dx4 .                         èìååòñÿ èñòèííîå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå íèêàêîå
     Ïîëó÷åííûå âûøå ôîðìóëû (7.7), (7.8) è (7.9) ÿâëÿþòñÿ                  ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò x1, x2, x3, x4 íå ïðèâîäèò âûðàæåíèå
÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ôîðìóëû (7.10).  áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå                  (7.11) ê “ãàëèëååâó” âèäó è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ê
âûðàæåíèå (7.10) çàïèøåòñÿ òàê:                                             “ãàëèëååâûì” çíà÷åíèÿì (âñïîìíèì, î ÷åì ãîâîðèëîñü ïðè
                                                                            ðàññìîòðåíèè ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè ñôåðû). Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî
                              4
                                                                            ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî óäîâëåòâîðèòü
                   dS 2 =    ∑ gik (x1, x2 , x3, x4 )⋅ dxi dxk .   (7.11)   øåñòè óðàâíåíèÿì:
                            i , k =1
                                                                                            g12(x1,x2,x3,x4)=0 ; g23(x1,x2,x3,x4)=0 ;
      Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí g ik îáðàçóåò òàê íàçûâàåìûé
                                                                                            g13(x1,x2,x3,x4)=0 ; g24(x1,x2,x3,x4)=0 ;
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ áóäåò ðàñêðûò íèæå.
                                                                                           gl4(x1,x2,x3,x4)=0 ; g34(x1,x2,x3,x4)=0 ;
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êîýôôèöèåíòû gik ñèììåòðè÷íû,
                                                                            ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ x1, x2, x3, x4 (ðå÷ü èäåò
ò.å., â ñèëó ðàâíîöåííîñòè èíäåêñîâ:
                                                                            î òåõ êîìïîíåíòàõ, êîòîðûå äîëæíû îòñóòñòâîâàòü â (7.11)).
                    gik (x1,x2,x3,x4)= gki(x1,x2,x3,x4),        (7.12)
                                                                                 Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ñëåäóåò èç îòëè÷èÿ ìåæäó
è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò gik:
              g11, g22, gÇÇ, g44, g12, g13, g14, g23, g24, g34.             èñòèííûìè è èíåðöèîííûìè ãðàâèòàöèîííûìè ïîëÿìè: ïåðâûå
        Ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé êîìïîíåíòû                        èñ÷åçàþò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò èñòî÷íèêîâ ýòèõ ïîëåé,
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gik åñòåñòâåííî áóäóò èçìåíÿòüñÿ, íî êâàäðàò           âòîðûå æå èëè îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè (ïðè ðàâíîóñêîðåííîì
ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS2 áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì â ñèëó                 äâèæåíèè ÑÎ), èëè íàðàñòàþò ñ óäàëåíèåì îò îñè âðàùåíèÿ (îá
åãî èíâàðèàíòíîñòè.                                                         ýòîì ìû ãîâîðèëè â §6). Ïîýòîìó “óíè÷òîæèòü” ãðàâèòàöèîííîå
      Ïîâòîðèì íåêîòîðûå ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûå ïîëîæåíèÿ, î                    ïîëå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå íèêàêèì âûáîðîì ÑÎ íåâîçìîæíî.
êîòîðûõ ìû óæå ãîâîðèëè ðàíåå. Â îòñóòñòâèè èñòèííîãî                       Ïîýòîìó òîëüêî â ìàëûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà èñòèííûå
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ìû âñåãäà ìîæåì ïåðåéòè îò                             ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ ôèçè÷åñêè íåîòëè÷èìû îò èíåðöèîííûõ
íåèíåðöèàëüíûõ êîîðäèíàò x l , x 2, x 3 , x 4 (íàïðèìåð, îò                 ãðàâèòàöèîííûõ ïîëåé (÷èòàòåëü äîëæåí áûë îáðàòèòü âíèìàíèå,
198                                                                                                                                      199

Страницы