Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 98 стр.

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ПсковГУ | Псков

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Рубрика: 

192
193
Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè óòâåðæäàåò: îïèñàíèå ÿâëåíèé â
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ ÑÎ ýêâèâàëåíòíî îïèñàíèþ ÿâëåíèé â
ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â íåêîòîðîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå.
Íî ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñëîâàìè ýêâèâàëåíòíîå
îïèñàíèå?
 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî îçíà÷àëî, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè
îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Äðóãèìè ñëîâàìè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ, óáåæäàåìñÿ, ÷òî
2-îé çàêîí Íüþòîíà èíâàðèàíòåí, ò.å. èìååò îäèí è òîò æå âèä âî
âñåõ ÈÑÎ (ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè îäèíàêîâû âî
âñåõ ÈÑÎ).
Àíàëîãè÷íî â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âî âñåõ
ÈÑÎ äåéñòâóþò îäèíàêîâûå çàêîíû ïðèðîäû è èõ
ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ, ïðè ýòîì ïðè
ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé èñïîëüçóþòñÿ óæå íå ôîðìóëû
Ãàëèëåÿ, à ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ÑÒÎ -
ôîðìóëû Ëîðåíöà.
Ñëåäóÿ ÿâíî ïðîÿâëÿþùåéñÿ ëîãèêå â ïðèâåäåííûõ
ðàññóæäåíèÿõ, ìû óñòàíîâèì ýêâèâàëåíòíîñòü îïèñàíèé â
ïðîèçâîëüíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ (ïðè îòñóòñòâèè
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ) è â ñîîòâåòñòâóþùåì (â îáùåì ñëó÷àå
íåîäíîðîäíîì è íåïîñòîÿííîì) ãðàâèòàöèîííîì ïîëå â ÈÑÎ,
åñëè íàéäåì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè
ïåðåõîäå îò ïåðâîé ÑÎ êî âòîðîé. Åñëè çàêîíû ïðèðîäû îêàæóòñÿ
îäèíàêîâûìè ïðè èñïîëüçîâàíèè íàéäåííûõ ôîðìóë
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ôîðìóëû çàêîíîâ
áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå âèä â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ
ïðåîáðàçîâàíèé), òî ãîâîðÿò îá èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ ïî
îòíîøåíèþ ê ýòèì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çàïèøåì
ïðåäïîëàãàåìûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (õ=õ
1
, y=x
2
,
z=x
3
) è âðåìåíè (t=x
4
) â ñëåäóþùåé íåÿâíîé ôîðìå:
õ
1
=f
1
(x,y,z,t),
x
2
=f
2
(x,y,z,t),
x
3
=f
3
(x,y,z,t), (7.1)
x
4
=f
4
(x,y,z,t).
Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è íå-
îáõîäèìî óñòàíîâèòü ÿâíûé âèä ôóí-
êöèé f
1
, f
2
, f
3
, f
4
. Îäíàêî ìû èçáåðåì
äðóãîé ïóòü äëÿ äîñòèæåíèÿ öåëè.
Äëÿ ýòîãî ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðû-
ìè îñîáåííîñòÿìè ãåîìåòðèè â ðàç-
íûõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåìàõ.
Íà÷íåì ñ ãåîìåòðèè íà ïëîñêî-
ñòè. Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàä-
ðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêî-
íå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåò-
ñÿ ïî ôîðìóëå
dl
2
=dx
2
+dy
2
, (7.2)
ò.å. êâàäðàò äèôôåðåíöèàëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî
áëèçêèìè òî÷êàìè (ðèñ.9) âûðàæàåòñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ
äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò dx è dy c
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâ-
íûìè åäèíèöå (îáðàòèì âíèìàíèå íà
äàííîå îïðåäåëåíèå, ò.ê. îíî áóäåò
îïðåäåëÿþùèì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ â
ïîñëåäóþùåì êëàññà ãåîìåòðèè).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äðóãèå êîîðäèíà-
òû, íàïðèìåð, ïîëÿðíûå (ðèñ.10) ýòèì
ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò:
dl
2
= dr
2
+r
2
d
ϕ
2
, (7.3)
ãäå r - ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ
Ð(r,
ϕ
),
ϕ
- óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì íà èçáðàííóþ òî÷êó Ð è
ðàíåå âûáðàííîé îñè 0õ. Êîýôôèöèåíò ïðè âòîðîì ñëàãàåìîì â
(7.2) îêàçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì.
Îäíàêî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè âñåãäà ìîæíî
ïåðåéòè îò ïîëÿðíûõ èëè äðóãèõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò è òåì ñàìûì äîáèòüñÿ, ÷òîáû êâàäðàò ýëåìåíòà äëèíû
dl
2
âûðàæàëñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ
êîîðäèíàò ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ãëóáîêàÿ ïðè÷èíà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,
÷òî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè ìû èìååì äåëî ñ ïëîñêèì
Ðèñ.9.
dl
dy
dx
x
y
O
M
P
Äåêàðòîâà ñèñòåìà
êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè.
Ðèñ. 10.
ρ
ϕ
()
ϕρ
,P
x
O
Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè
     Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè óòâåðæäàåò: îïèñàíèå ÿâëåíèé â             Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è íå-         Äåêàðòîâà ñèñòåìà
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ ÑÎ ýêâèâàëåíòíî îïèñàíèþ ÿâëåíèé â         îáõîäèìî óñòàíîâèòü ÿâíûé âèä ôóí- êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè.
ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â íåêîòîðîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå.                 êöèé f1, f2, f3, f4. Îäíàêî ìû èçáåðåì y
     Íî ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñëîâàìè “ýêâèâàëåíòíîå                äðóãîé ïóòü äëÿ äîñòèæåíèÿ öåëè.
îïèñàíèå”?                                                        Äëÿ ýòîãî ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðû-                          P
      êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî îçíà÷àëî, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè    ìè îñîáåííîñòÿìè ãåîìåòðèè â ðàç- dy              dl
îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Äðóãèìè ñëîâàìè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû         íûõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåìàõ.
                                                                        Íà÷íåì ñ ãåîìåòðèè íà ïëîñêî-          M
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ, óáåæäàåìñÿ, ÷òî                                                           dx
                                                                  ñòè. Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàä- O
2-îé çàêîí Íüþòîíà èíâàðèàíòåí, ò.å. èìååò îäèí è òîò æå âèä âî                                                                   x
                                                                  ðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêî-                Ðèñ.9.
âñåõ ÈÑÎ (ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè îäèíàêîâû âî
                                                                  íå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåò-
âñåõ ÈÑÎ).
                                                                  ñÿ ïî ôîðìóëå
     Àíàëîãè÷íî â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âî âñåõ                           dl2=dx2+dy2,                          (7.2)
ÈÑÎ äåéñòâóþò îäèíàêîâûå çàêîíû ïðèðîäû è èõ                      ò.å. êâàäðàò äèôôåðåíöèàëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî
ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ, ïðè ýòîì ïðè         áëèçêèìè òî÷êàìè (ðèñ.9) âûðàæàåòñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ
ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé èñïîëüçóþòñÿ óæå íå ôîðìóëû        äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò dx è dy c
Ãàëèëåÿ, à ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ÑÒÎ -       ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâ-             Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà
ôîðìóëû Ëîðåíöà.                                                  íûìè åäèíèöå (îáðàòèì âíèìàíèå íà         êîîðäèíàò  íà ïëîñêîñòè
     Ñëåäóÿ ÿâíî ïðîÿâëÿþùåéñÿ ëîãèêå â ïðèâåäåííûõ               äàííîå îïðåäåëåíèå, ò.ê. îíî áóäåò
ðàññóæäåíèÿõ, ìû óñòàíîâèì ýêâèâàëåíòíîñòü îïèñàíèé â             îïðåäåëÿþùèì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ â                   ρ       P(ρ, ϕ)
ïðîèçâîëüíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ (ïðè îòñóòñòâèè               ïîñëåäóþùåì êëàññà ãåîìåòðèè).
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ) è â ñîîòâåòñòâóþùåì (â îáùåì ñëó÷àå                                                            ϕ
                                                                  Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äðóãèå êîîðäèíà-
íåîäíîðîäíîì è íåïîñòîÿííîì) ãðàâèòàöèîííîì ïîëå â ÈÑÎ,           òû, íàïðèìåð, ïîëÿðíûå (ðèñ.10) ýòèì       O                    x
                                                                                                                   Ðèñ. 10.
åñëè íàéäåì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè        ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò:
ïåðåõîäå îò ïåðâîé ÑÎ êî âòîðîé. Åñëè çàêîíû ïðèðîäû îêàæóòñÿ                          dl2 = dr2 +r2d ϕ 2 ,                  (7.3)
îäèíàêîâûìè ïðè èñïîëüçîâàíèè íàéäåííûõ ôîðìóë                    ãäå r - ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ
 ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ôîðìóëû çàêîíîâ         Ð(r, ϕ ), ϕ - óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì íà èçáðàííóþ òî÷êó Ð è
áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå âèä â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ
                                                                  ðàíåå âûáðàííîé îñè 0õ. Êîýôôèöèåíò ïðè âòîðîì ñëàãàåìîì â
ïðåîáðàçîâàíèé), òî ãîâîðÿò îá èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ ïî
                                                                  (7.2) îêàçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì.
îòíîøåíèþ ê ýòèì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çàïèøåì
                                                                        Îäíàêî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè âñåãäà ìîæíî
ïðåäïîëàãàåìûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (õ=õ1, y=x2,
                                                                  ïåðåéòè îò ïîëÿðíûõ èëè äðóãèõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå
z=x3) è âðåìåíè (t=x4) â ñëåäóþùåé íåÿâíîé ôîðìå:
                                                                  êîîðäèíàò è òåì ñàìûì äîáèòüñÿ, ÷òîáû êâàäðàò ýëåìåíòà äëèíû
                 õ1=f1(x,y,z,t),
                                                                  dl 2 âûðàæàëñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ
                 x2=f2(x,y,z,t),
                                                                  êîîðäèíàò ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
                 x3=f3(x,y,z,t),                        (7.1)
                                                                         Ãëóáîêàÿ ïðè÷èíà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,
                 x4=f4(x,y,z,t).
                                                                  ÷òî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè ìû èìååì äåëî ñ “ïëîñêèì
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