Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

48
49
òåëà  åãî îáúåêòèâíàÿ, è â ýòîì ñìûñëå, àáñîëþòíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà, à ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ýòîé õàðàêòåðèñòèêè
çàâèñèò îò óñëîâèé èçìåðåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû.
Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàññìîòðåòü ñâÿçü äëèí òîãî æå
ñòåðæíÿ, åñëè îí íåïîäâèæåí â ÈÑÎ L è äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî
ÈÑÎ L. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ýòèìè äëèíàìè áóäåò
íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ïåðâîé èç îáðàùåííûõ ôîðìóë Ëîðåíöà (6.7),
ñ ó÷åòîì òî ãî, ÷òî
12
tt
′
=
′
, òàê êàê òåïåðü â îäèí è òîò æå ìîìåíò
âðåìåíè íóæíî îïðåäåëÿòü êîîðäèíàòû, íàõîäÿñü â ÈÑÎ L.
Ââîäÿ ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì
,1
2
2
0
c
v
ll
−=
ãäå lî  äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L, ãäå îí ïîêîèòñÿ, l äëèíà
ñòåðæíÿ â ÈÑÎ
L
′
, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñòåðæåíü äâèæåòñÿ.
Ýòà ôîðìóëà â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (6.8), â ÷åì
ïðîÿâèëñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ÑÒÎ, ðàâíîïðàâèÿ ÈÑÎ.
×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò âûïîëíèìîñòü ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ.
Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé â ÑÒÎ.
Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé íàõîäèò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå
ïðèëîæåíèå. Ïîýòîìó äàííàÿ çàäà÷à èìååò íå òîëüêî
òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ.
Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t
0
= t
0
=0 íà÷àëà êîîðäèíàò òî÷êè 0
è Î ÈÑÎ L è L
ñîâïàäàëè, òàì æå íàõîäèëîñü íàáëþäàåìîå
òåëî. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ t (ïî ÷àñàì ÈÑÎ L) è t
(ïî ÷àñàì
ÈÑÎ L') òåëî îêàçàëîñü â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé õ (â ÈÑÎ L) è
ñîîòâåòñòâåííî x' (â ÈÑÎ L'). Âñå ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû
ôîðìóëàìè Ëîðåíöà (6.6) èëè (6.7). Åñëè ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà â
(6.6) ðàçäåëèì íà ÷åòâåðòîå, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
.
1
1
;
1
1
;
1
2
2
2
2
2
2
2
t
x
c
v
c
v
t
z
t
z
t
x
c
v
c
v
t
y
t
y
t
x
c
v
v
t
x
t
x
⋅−
−
=
′
′
⋅−
−
=
′
′
⋅−
−
=
′
′
äëèíîé òåëà è îáîçíà÷èì åå òàê: l
0
. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî
â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ ïîÿâèëàñü åùå îäíà àáñîëþòíàÿ,
èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà . Çíà÷èò, íå âñå â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
îòíîñèòåëüíî! (Ê ýòîìó âîïðîñó ìû òàêæå áóäåì âîçâðàùàòüñÿ
íå ðàç.)
Ðóêîâîäñòâóÿñü ïðàâèëîì îïðåäåëåíèÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ
òåëà, çàìåðèì îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà ñòåðæíÿ,
íàõîäÿñü íå â ÈÑÎ L, à â ÈÑÎ L, ïîëó÷àåì õ
1
è õ
2
. Âîñïîëüçóåìñÿ
ïåðâîé ôîðìóëîé â (6.6), êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò íå øòðèõîâàííûå è
øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû êîíöîâ ñòåðæíÿ. Ñîñòàâëÿÿ ðàçíîñòü
ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé,
,
11
2
2
12
2
2
1122
12
c
v
xx
c
v
vtxvtx
xx
−
−
=
−
+−−
=
′
−
′
ãäå ó÷òåíî, ÷òî
.
12
tt =
Ââîäÿ äëÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà îáîçíà÷åíèå
12
xxl −=
,
ïîëó÷àåì åùå îäíó çíàìåíèòóþ ôîðìóëó ÑÒÎ:
.1
2
2
0
c
v
ll
−=
(6.8)
Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò: 1) äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà
ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå åå â
ðàçíûõ ÈÑÎ ðàçíîå. Èíîãäà ãîâîðÿò î ñîêðàùåíèè äëèíû
äâèæóùåãîñÿ òåëà. Ýòî íåâåðíî, òàê êàê íèêàêîãî ñîêðàùåíèÿ
äëèíû òåëà íå ïðîèñõîäèò, ýôôåêò îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà, à íå äèíàìè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ âíóòðè òåëà; 2) äëèíà òåëà â ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî
êîòîðîé òåëî äâèæåòñÿ, ìåíüøå åãî ñîáñòâåííîé äëèíû. Íî îáå
äëèíû ðåàëüíû, îáúåêòèâíû è ìîãóò áûòü çàôèêñèðîâàíû
ïðèáîðàìè; 3) åñëè ïîëîæèòü v = c, òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà
îêàæåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Îäíàêî (ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå) íè îäíî
òåëî (êðîìå êâàíòîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) íå ìîæåò äâèãàòüñÿ
ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, à ïîýòîìó íè â îäíîé ÈÑÎ äëèíà
âåùåñòâåííîãî òåëà íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïðîòÿæåííîñòü
äëèíîé òåëà è îáîçíà÷èì åå òàê: l0. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî                           òåëà — åãî îáúåêòèâíàÿ, è â ýòîì ñìûñëå, àáñîëþòíàÿ
â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ ïîÿâèëàñü åùå îäíà àáñîëþòíàÿ,                                       õàðàêòåðèñòèêà, à ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ýòîé õàðàêòåðèñòèêè
èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà . Çíà÷èò, íå âñå â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè                           çàâèñèò îò óñëîâèé èçìåðåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû.
îòíîñèòåëüíî! (Ê ýòîìó âîïðîñó ìû òàêæå áóäåì âîçâðàùàòüñÿ                                     Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàññìîòðåòü ñâÿçü äëèí òîãî æå
íå ðàç.)                                                                                  ñòåðæíÿ, åñëè îí íåïîäâèæåí â ÈÑÎ L è äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî
     Ðóêîâîäñòâóÿñü ïðàâèëîì îïðåäåëåíèÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ                                ÈÑÎ L’. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ýòèìè äëèíàìè áóäåò
òåëà, çàìåðèì îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà ñòåðæíÿ,                             íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ïåðâîé èç îáðàùåííûõ ôîðìóë Ëîðåíöà (6.7),
íàõîäÿñü íå â ÈÑÎ L’, à â ÈÑÎ L, ïîëó÷àåì õ1 è õ2. Âîñïîëüçóåìñÿ                          ñ ó÷åòîì òî ãî, ÷òî t 2′ = t1′ , òàê êàê òåïåðü â îäèí è òîò æå ìîìåíò
ïåðâîé ôîðìóëîé â (6.6), êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò íå øòðèõîâàííûå è                              âðåìåíè íóæíî îïðåäåëÿòü êîîðäèíàòû, íàõîäÿñü â ÈÑÎ L’.
øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû êîíöîâ ñòåðæíÿ. Ñîñòàâëÿÿ ðàçíîñòü                                Ââîäÿ ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì
ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé,
                                                                                                                                   v2
                                  x 2 − vt 2 − x1 + vt1          x 2 − x1                                             l = l0 1 −        ,
                   x 2′ − x1′ =                              =                ,                                                    c2
                                                         2                2
                                                     v                v
                                                1−       2
                                                                 1−                       ãäå lî — äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L, ãäå îí ïîêîèòñÿ, l— äëèíà
                                                     c                c2
                                                                                          ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L′ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñòåðæåíü äâèæåòñÿ.
ãäå ó÷òåíî, ÷òî t 2 = t1 .                                                                Ýòà ôîðìóëà â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (6.8), â ÷åì
    Ââîäÿ äëÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà îáîçíà÷åíèå l = x 2 − x1 ,                           ïðîÿâèëñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ÑÒÎ, ðàâíîïðàâèÿ ÈÑÎ.
ïîëó÷àåì åùå îäíó çíàìåíèòóþ ôîðìóëó ÑÒÎ:                                                 ×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò âûïîëíèìîñòü ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ.

                                    v2                                                          Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé â ÑÒÎ.
                     l = l0 1 −             .                                     (6.8)
                                    c   2                                                       Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé íàõîäèò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå
     Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò: 1) äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà                                   ïðèëîæåíèå. Ïîýòîìó äàííàÿ çàäà÷à èìååò íå òîëüêî
ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå åå â                                 òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ.
ðàçíûõ ÈÑÎ ðàçíîå. Èíîãäà ãîâîðÿò î “ñîêðàùåíèè” äëèíû                                          Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t0 = t“0 =0 íà÷àëà êîîðäèíàò òî÷êè 0
äâèæóùåãîñÿ òåëà. Ýòî íåâåðíî, òàê êàê íèêàêîãî ñîêðàùåíèÿ                                è Δ ÈÑÎ L è L“ ñîâïàäàëè, òàì æå íàõîäèëîñü íàáëþäàåìîå
äëèíû òåëà íå ïðîèñõîäèò, ýôôåêò îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû                                    òåëî. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ t (ïî ÷àñàì ÈÑÎ L) è t“ (ïî ÷àñàì
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà, à íå äèíàìè÷åñêèõ                               ÈÑÎ L') òåëî îêàçàëîñü â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé õ (â ÈÑÎ L) è
ïðîöåññîâ âíóòðè òåëà; 2) äëèíà òåëà â ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî                                  ñîîòâåòñòâåííî x' (â ÈÑÎ L'). Âñå ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû
êîòîðîé òåëî äâèæåòñÿ, ìåíüøå åãî ñîáñòâåííîé äëèíû. Íî îáå                               ôîðìóëàìè Ëîðåíöà (6.6) èëè (6.7). Åñëè ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà â
äëèíû ðåàëüíû, îáúåêòèâíû è ìîãóò áûòü çàôèêñèðîâàíû                                      (6.6) ðàçäåëèì íà ÷åòâåðòîå, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
ïðèáîðàìè; 3) åñëè ïîëîæèòü v = c, òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà
                                                                                                         x                y     v2               z    v2
îêàæåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Îäíàêî (ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå) íè îäíî                                             −v               1− 2                   1− 2
                                                                                                   x′                y′ t       c           z′ t      c
òåëî (êðîìå êâàíòîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) íå ìîæåò äâèãàòüñÿ                                        = t      ;        =          ;           =         .
ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, à ïîýòîìó íè â îäíîé ÈÑÎ äëèíà                                                 t′      v x       t′      v x            t′      v x
                                                                                                       1− 2 ⋅             1− 2 ⋅                 1− 2 ⋅
âåùåñòâåííîãî òåëà íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïðîòÿæåííîñòü                                                 c t               c t                    c t

48                                                                                                                                                           49

Страницы