ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
68
69
îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè è=0. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî V
4
îïðåäåëÿåòñÿ
÷åðåç x
4
=ict, ò. å. ñâÿçàíà ñî âðåìåíåì, êîòîðîå íåëüçÿ îñòàíîâèòü
íè â îäíîé ÈÑÎ. Ýòà îñîáåííîñòü ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4
-x
-
ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ è â äàëüíåéøèõ
íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ.
Óáåäèìñÿ, ÷òî êâàäðàò 4
-x
-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè V
2
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ñóììó êâàäðàòîâ
êîìïîíåíò 4
-x
-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè:
.
1111
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
2
2
2
1
èíâc
c
u
c
c
u
u
c
u
u
c
u
u
VVVV
z
y
x
=−=
−
−
−
+
−
+
−
=+++
(9.8)
Îñíîâûâàÿñü íà òåîðåìå î 4
-x
-ìåðíûõ âåêòîðàõ, ñôîðìóëè-
ðîâàííîé âûøå, ñîñòàâèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò
4
-x
-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè
ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Ýòè
ôîðìóëû ìû âîçüìåì â ôîðìå (9.2):
,
1
;;;
1
2
14
43322
2
41
1
β
β
β
β
−
−
=
′
=
′
=
′
−
+
=
′
ViV
VVVVV
ViV
V
(9.9)
ãäå
c
v
=
β
, v ñêîðîñòü äâèæåíèÿ øòðèõîâàííîé ÈÑÎ
îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííîé.
×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü äåéñòâèå
ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ è ïîëó÷èòü ôîðìóëû êëàññè÷åñêîé
òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, à òàêæå ïîëó÷èòü îáðàùåííûå
ôîðìóëû äëÿ ïåðåõîäà îò øòðèõîâàííûõ ïðîåêöèé 4
-õ
-âåêòîðà
ñêîðîñòè ê íå øòðèõîâàííûì.
§ 10. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà.
Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
Ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîòÿæåííîñòü âåùåñò-
âåííîãî òåëà èëè âðåìåííóþ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà, ìû îá-
τ
d
xxxxRd
V
),,,(
4321
r
r
=
. (9.4)
Ñïðîåêòèðóåì ýòîò âåêòîð íà îñè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò ââåäåííîãî íàìè ÷åòûðåõìåðíîãî ìèðà Ìèíêîâñêîãî:
.,,,
4
4
3
3
2
2
1
1
ττττ
d
dx
V
d
dx
V
d
dx
V
d
dx
V
====
(9.5)
Ïåðåéäåì ê îòíîñèòåëüíîìó (áóäåì åãî íàçûâàòü ëàáîðà-
òîðíûì) âðåìåíè ñîãëàñíî ôîðìóëå (6.9), çàïèñàííîé â
äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:
,
1
2
2
c
u
d
dt
−
τ
=
ãäå
2222
zyx
uuuu
++=
êâàäðàò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà â
ëàáîðàòîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ.
Òîãäà ïðîåêöèè 4~
õ
-âåêòîðà ñêîðîñòè çàïèøóòñÿ òàê:
.
1
,
1
,
1
2
2
3
2
2
2
2
2
11
1
c
u
u
V
c
u
u
V
c
u
u
d
dt
dt
dx
d
dx
V
z
y
x
−
=
−
=
−
=
τ
⋅=
τ
=
(9.6)
Ïî àíàëîãèè îïðåäåëèì è ïðîåêöèþ V
4
:
()
.
1
2
2
4
4
c
u
ic
d
dt
ic
d
ictd
d
dx
V
−
====
τττ
(9.7)
×åòâåðòàÿ êîìïîíåíòà 4
-õ
-âåêòîðà ñêîðîñòè îáëàäàåò îñîáåí-
íîñòüþ: â îòëè÷èå îò òðåõ äðóãèõ êîìïîíåíò, ýòà êîìïîíåíòà
r îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè è=0. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî V4 îïðåäåëÿåòñÿ
r dR ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )
V = . (9.4) ÷åðåç x4=ict, ò. å. ñâÿçàíà ñî âðåìåíåì, êîòîðîå íåëüçÿ îñòàíîâèòü
dτ
íè â îäíîé ÈÑÎ. Ýòà îñîáåííîñòü ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-x-
Ñïðîåêòèðóåì ýòîò âåêòîð íà îñè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò ââåäåííîãî íàìè ÷åòûðåõìåðíîãî ìèðà Ìèíêîâñêîãî: ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ è â äàëüíåéøèõ
íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ.
dx1 dx dx dx Óáåäèìñÿ, ÷òî êâàäðàò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè V2
V1 = , V2 = 2 , V3 = 3 , V 4 = 4 . (9.5)
dτ dτ dτ dτ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ñóììó êâàäðàòîâ
Ïåðåéäåì ê îòíîñèòåëüíîìó (áóäåì åãî íàçûâàòü ëàáîðà- êîìïîíåíò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè:
òîðíûì) âðåìåíè ñîãëàñíî ôîðìóëå (6.9), çàïèñàííîé â
äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå: u x2 u 2y u z2 c2
V12 + V22 + V32 + V42 = 2
+ 2
+ 2
− 2
= − c 2 = èíâ.
dτ 1−
u
1−
u
1−
u
1−
u (9.8)
dt = , c2 c2 c2 c2
2
u
1− Îñíîâûâàÿñü íà òåîðåìå î 4-x-ìåðíûõ âåêòîðàõ, ñôîðìóëè-
c2
ðîâàííîé âûøå, ñîñòàâèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò
ãäå u 2 = u x2 + u 2y + u z2 êâàäðàò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà â 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè
ëàáîðàòîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ. ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Ýòè
Òîãäà ïðîåêöèè 4~õ-âåêòîðà ñêîðîñòè çàïèøóòñÿ òàê: ôîðìóëû ìû âîçüìåì â ôîðìå (9.2):
V1 + iβ V4 V4 − iβ V1
V1′ = ; V2′ = V2 ; V3′ = V3 ; V4′ = ,
(9.9)
1− β 2
1− β 2
dx dx dt ux
V1 = 1 = 1 ⋅ = ,
dτ dt dτ u2 v
1− 2 ãäå β= , v ñêîðîñòü äâèæåíèÿ øòðèõîâàííîé ÈÑÎ
c c
îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííîé.
uy uz
V2 = , V3 = . (9.6) ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü äåéñòâèå
u2 u2 ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ è ïîëó÷èòü ôîðìóëû êëàññè÷åñêîé
1− 2 1− 2
c c òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, à òàêæå ïîëó÷èòü îáðàùåííûå
ôîðìóëû äëÿ ïåðåõîäà îò øòðèõîâàííûõ ïðîåêöèé 4-õ-âåêòîðà
Ïî àíàëîãèè îïðåäåëèì è ïðîåêöèþ V4:
ñêîðîñòè ê íå øòðèõîâàííûì.
dx 4 d (ict ) dt ic
V4 = = = ic = .
dτ dτ dτ u2 § 10. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà.
1− (9.7)
Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
c2
×åòâåðòàÿ êîìïîíåíòà 4-õ-âåêòîðà ñêîðîñòè îáëàäàåò îñîáåí- Ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîòÿæåííîñòü âåùåñò-
íîñòüþ: â îòëè÷èå îò òðåõ äðóãèõ êîìïîíåíò, ýòà êîìïîíåíòà âåííîãî òåëà èëè âðåìåííóþ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà, ìû îá-
68 69
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
