ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
104
105
a f
4
îïðåäåëÿåòñÿ íèæå. Â òàêîé çàïèñè ëåâàÿ ñòîðîíà óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ óæå âûðàæåíà ÷åðåç âåëè÷èíû, îáðàçóþùèå
èíâàðèàíòû.
Íàéäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4
-õ
-
ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû f
4
. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì âñå ïðîåêöèè 4
-õ
-
ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè V
i
, íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîåêöèè 4
-õ
-
ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû è ñëîæèì ýòè ïðîèçâåäåíèÿ (ìû ïîëó÷èì
òàê íàçûâàåìîå 4
-õ
-ìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4
-õ
-
ìåðíûõ âåêòîðîâ):
() () ()
()
,
44
33221144332211
mV
d
d
V
mV
d
d
VmV
d
d
VmV
d
d
VfVfVfVfV
τ
τττ
+
+++=+++
ãäå èñïîëüçîâàíû çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé 4
-õ
-ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû,
èñõîäÿ èç ôîðìóëû (14.2).
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðîâåäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ÷òî ïðå-
äûäóùåå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü è òàê:
()
()
.
2
2
4
2
3
2
2
2
1
VVVV
d
dm
fV
+++=
τ
r
. (14.4)
Íî â ñêîáêàõ ñòîèò 4
-x
-ìåðíûé èíâàðèàíò, ðàâíûé
ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå (ñì. ôîðìóëó (9.8)), ïðîèçâîäíàÿ îò êîòîðîé
ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
( )
0
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++=
VVVVfV
r
r
, (14.5)
îòêóäà
4
332211
4
V
fVfVfV
f
++
−=
. (14.6)
Âñå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñïðàâà â ôîðìóëå (14.6), íàì èçâåñò-
íû. Ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ:
()
.
1
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
4
c
u
Fu
c
i
c
u
ic
c
u
c
u
FuFuFu
f
zzyyxx
−
=−
⋅−⋅−
++
−=
r
r
(14.7)
ãäå (
Fu
r
r
) òðåõìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõìåðíûõ
âåêòîðîâ
Fèu
r
r
.
Èòàê, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ 4
-õ
-ìåðíîãî ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâ-
íåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:
()
2
2
2
2
11
c
u
Fu
c
i
c
u
ic
m
d
d
−
=
−
⋅
r
r
τ
. (14.8)
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ìíèìóþ åäèíèöó, ïåðåíîñà ìíîæèòåëÿ
ñ íàëåâî è ïåðåõîäà ê ëàáîðàòîðíîìó âðåìåíè ñîãëàñíî ñî-
îòíîøåíèþ (6.9), óðàâíåíèþ (14.8) ìîæíî ïðèäàòü âèä:
()
Fu
c
u
mc
dt
d
r
r
=
−
2
2
2
1
. (14.9)
Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òàê êàê
âåëè÷èíà
2
2
2
1
c
u
mc
−
îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ äâèæóùåãîñÿ òåëà (ýòî ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
(10.5)), òî ëåâàÿ ñòîðîíà (14.9) îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ýíåðãèè
äâèæóùåãîñÿ òåëà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ñïðàâà æå âåëè÷èíà
óêàçûâàåò, ÷òî çà ñ÷åò ýòîãî èçìåíåíèÿ ýíåðãèè (çà åäèíèöó
âðåìåíè) ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ñèëû F (òàêæå çà åäèíèöó âðåìåíè).
Äåéñòâèòåëüíî:
()
()
A
dt
d
SF
dt
d
dt
Sd
FFu
==⋅=
r
r
r
rr
r
.
Òàêèì îáðàçîì, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî 4
-õ
-
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ è
ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Åñëè òåëî èçîëèðîâàíî (èëè ñèñòåìà òåë
r
a f4 îïðåäåëÿåòñÿ íèæå. Â òàêîé çàïèñè ëåâàÿ ñòîðîíà óðàâíåíèÿ ãäå ( urF ) òðåõìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõìåðíûõ
äâèæåíèÿ óæå âûðàæåíà ÷åðåç âåëè÷èíû, îáðàçóþùèå r r
èíâàðèàíòû. âåêòîðîâ u è F .
Íàéäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-õ- Èòàê, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ 4-õ-ìåðíîãî ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâ-
ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû f4. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì âñå ïðîåêöèè 4-õ- íåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:
ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè Vi , íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîåêöèè 4-õ-
ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû è ñëîæèì ýòè ïðîèçâåäåíèÿ (ìû ïîëó÷èì
r
òàê íàçûâàåìîå 4 -õ-ìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4-õ- d
m ⋅
ic i urF
=
( )
ìåðíûõ âåêòîðîâ): dτ u2 c u2 . (14.8)
1− 2 1− 2
V1 f 1 + V2 f 2 + V3 f 3 + V4 f 4 = V1
d
(mV1 ) + V2 d (mV2 ) + V3 d (mV3 ) + c c
dτ dτ dτ
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ìíèìóþ åäèíèöó, ïåðåíîñà ìíîæèòåëÿ
+ V4
d
(mV4 ), ñ íàëåâî è ïåðåõîäà ê ëàáîðàòîðíîìó âðåìåíè ñîãëàñíî ñî-
dτ
îòíîøåíèþ (6.9), óðàâíåíèþ (14.8) ìîæíî ïðèäàòü âèä:
ãäå èñïîëüçîâàíû çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû,
rr
èñõîäÿ èç ôîðìóëû (14.2). d mc 2
( )
= uF
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðîâåäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ÷òî ïðå- dt u2 . (14.9)
äûäóùåå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü è òàê: 1−
c2
(Vrf ) = m2 ddτ (V 1
2
+ V22 + V32 + V42 . . ) (14.4) Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òàê êàê
âåëè÷èíà
Íî â ñêîáêàõ ñòîèò 4 -x -ìåðíûé èíâàðèàíò, ðàâíûé
ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå (ñì. ôîðìóëó (9.8)), ïðîèçâîäíàÿ îò êîòîðîé mc 2
ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, u2
( )
rr
Vf = V12 + V22 + V32 + V42 = 0 , (14.5)
1−
c2
îòêóäà îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ äâèæóùåãîñÿ òåëà (ýòî ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
V f + V2 f 2 + V3 f 3 (10.5)), òî ëåâàÿ ñòîðîíà (14.9) îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ýíåðãèè
f4 = − 1 1 . (14.6) äâèæóùåãîñÿ òåëà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ñïðàâà æå âåëè÷èíà
V4
óêàçûâàåò, ÷òî çà ñ÷åò ýòîãî èçìåíåíèÿ ýíåðãèè (çà åäèíèöó
Âñå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñïðàâà â ôîðìóëå (14.6), íàì èçâåñò-
âðåìåíè) ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ñèëû F (òàêæå çà åäèíèöó âðåìåíè).
íû. Ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ:
Äåéñòâèòåëüíî:
f4 = −
u x F x + u y F y + u z Fz
1−
u2
=
i (urFr ) .
r
(urFr ) = Fr ⋅ ddtS = dtd (FrSr ) = dtd A .
u2 u2 c2 c u2 (14.7)
1− 2
⋅ 1− 2
⋅ ic 1− Òàêèì îáðàçîì, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî 4-õ-
c c c2
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ è
ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Åñëè òåëî èçîëèðîâàíî (èëè ñèñòåìà òåë
104 105
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
