ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
108
109
Òîãäà óðàâíåíèå (14.1) çàïèøåòñÿ òàê:
F
c
u
um
dt
d
r
r
=
−
2
2
1
, (15.1)
ãäå m èíâàðèàíòíàÿ ìàññà.
Ðàñêðîåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
(15.1) êàê ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ:
.
111
2
2
2
2
2
2
c
u
m
dt
d
u
dt
ud
c
u
m
c
u
um
dt
d
−
+
−
=
−
r
rr
(15.2)
Ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå, óìíîæèâ è ðàçäåëèâ åãî
ïðåäâàðèòåëüíî íà ñ
2
:
()
,
1
2
2
2
2
2
uF
c
u
c
u
mc
dt
d
c
u
r
r
rr
=
−
ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (14.9).
Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê óðàâíåíèå (15.1)
ïðèíèìàåò âèä:
()
.1
2
2
2
c
u
uF
c
u
F
dt
ud
m
−
−=
r
r
r
r
r
(15.3)
Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåé ôîðìîé çàïèñè ðåëÿòèâèñòñêîãî
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â òðåõìåðíîé ôîðìå. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî åñòü
ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà â ÑÒÎ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà
ñóùåñòâåííî íîâîå, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â óðàâíåíèè (15.3), ïî ñðàâíåíèþ
ñ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà. Ïî ñâîåìó ñìûñëó
ïðîèçâîäíàÿ
dt
ud
r
åñòü óñêîðåíèå. Íî òîãäà èç óðàâíåíèÿ (15.3)
ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè íå âñåãäà
ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì ñèëû (êàê ýòî òðåáóåòñÿ â
êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå), à çàâèñèò òàêæå îò íàïðàâëñíèÿ ñêîðîñòè
(â ôîðìóëå (15.3) ñïðàâà ñòîèò âåêòîðíàÿ ñóììà 2-õ âåêòîðîâ
F
r
è
u
r
⋅
α
, ãäå
()
uF
c
r
r
2
1
=
α
, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå íå ïàðàëëåëüíû.
Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ
F
r
è
u
r
(ýòè ñëó÷àè âñòðå÷àþòñÿ ïðè äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö
â ýëåêòðè÷åñêîì èëè ìàãíèòíîì ïîëÿõ).
1. Ïóñòü âåêòîð ñèëû
F
r
íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó
ñêîðîñòè
u
r
. Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíî
íóëþ è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä:
Fam
êë
r
r
=⋅
⊥
, (15.4)
ãäå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
⊥
m
=
.
1
2
2
c
u
m
−
Ýòó âåëè÷èíó èíîãäà íàçûâàþò ïîïåðå÷íîé ìàññîé, ÷òî
ñèìâîëè÷åñêè óêàçûâàåò íà îòíîñèòåëüíîå ðàñïîëîæåíèå
âåêòîðîâ
uèF
r
r
â ýòîé çàäà÷å. Íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ýòî
íàçâàíèå íå ñîäåðæèò.
2. Ïóñòü âåêòîðû
F
r
è
u
r
ðàñïîëàãàþòñÿ ïàðàëëåëüíî äðóã
äðóãó. Òîãäà âòîðîé ÷ëåí ñïðàâà â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (15.3)
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
()
.
2
2
222
F
c
u
uF
c
u
uF
c
u
uF
c
u
rr
r
r
r
r
==⋅=
Çíàê âåêòîðà ïåðåíåñåí ñ âåëè÷èíû u íà F, ÷òî âîçìîæíî â
ñèëó ïàðàëëåëüíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (15.3)
â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
Fa
c
u
c
u
m
êë
r
r
=
−−
2
2
2
2
11
.
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå
Òîãäà óðàâíåíèå (14.1) çàïèøåòñÿ òàê: 1 rr
r r
r ( )
α ⋅ u , ãäå α = 2 Fu , êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå íå ïàðàëëåëüíû.
d mu c
=F
dt u2 Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ
1− , (15.1) r r
c 2 F è u (ýòè ñëó÷àè âñòðå÷àþòñÿ ïðè äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö
â ýëåêòðè÷åñêîì èëè ìàãíèòíîì ïîëÿõ).
ãäå m èíâàðèàíòíàÿ ìàññà. r
Ðàñêðîåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ 1. Ïóñòü âåêòîð ñèëû F íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó
(15.1) êàê ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ: ñêîðîñòè ur . Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíî
r r íóëþ è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä:
d mu m du r d m r
= +u . r
dt 2 2 dt dt m ⊥ ⋅ a êë = F , (15.4)
u u u2 (15.2)
1− 1− 1− ãäå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
c2 c2 c2
Ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå, óìíîæèâ è ðàçäåëèâ åãî m⊥ =
m
.
ïðåäâàðèòåëüíî íà ñ2: u2
1−
r r c2
u rr
u d mc 2
( )
= 2 Fu ,
Ýòó âåëè÷èíó èíîãäà íàçûâàþò ïîïåðå÷íîé ìàññîé, ÷òî
c 2 dt u2 c
1− ñèìâîëè÷åñêè óêàçûâàåò íà îòíîñèòåëüíîå ðàñïîëîæåíèå
c2 r r
âåêòîðîâ F è u â ýòîé çàäà÷å. Íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ýòî
ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (14.9).
Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê óðàâíåíèå (15.1) íàçâàíèå íå ñîäåðæèò.
r
ïðèíèìàåò âèä: 2. Ïóñòü âåêòîðû F è ur ðàñïîëàãàþòñÿ ïàðàëëåëüíî äðóã
r r äðóãó. Òîãäà âòîðîé ÷ëåí ñïðàâà â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (15.3)
du r u r r
m
u2
= F − 2 Fu 1 − 2 .
dt
( ) (15.3) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
c c r r
u rr u r u2 r
Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåé ôîðìîé çàïèñè ðåëÿòèâèñòñêîãî 2
F( )
u =
u
2
F ⋅ u = 2 Fu = 2 F .
c c c c
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â òðåõìåðíîé ôîðìå. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî åñòü
ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà â ÑÒÎ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà Çíàê âåêòîðà ïåðåíåñåí ñ âåëè÷èíû u íà F, ÷òî âîçìîæíî â
ñóùåñòâåííî íîâîå, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â óðàâíåíèè (15.3), ïî ñðàâíåíèþ ñèëó ïàðàëëåëüíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (15.3)
ñ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà. Ïî ñâîåìó ñìûñëó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
r m r r
du a êë = F
ïðîèçâîäíàÿ åñòü óñêîðåíèå. Íî òîãäà èç óðàâíåíèÿ (15.3)
dt u u
2 2
.
1− 1 −
ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè íå âñåãäà c 2 c2
ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì ñèëû (êàê ýòî òðåáóåòñÿ â
êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå), à çàâèñèò òàêæå îò íàïðàâëñíèÿ ñêîðîñòè Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå
r
(â ôîðìóëå (15.3) ñïðàâà ñòîèò âåêòîðíàÿ ñóììà 2-õ âåêòîðîâ F è
108 109
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
