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112
113
óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò äëÿ îáîèõ ïîòåíöèàëîâ îäíîòèïíûé
âèä (÷òî è îïðàâäûâàåò ââåäåíèå ýòèõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé).
Ýòè óðàâíåíèÿ è ïîëó÷èëè íàçâàíèå óðàâíåíèé Äàëàìáåðà. Äëÿ
âàêóóìà, îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
,
0
2
2
00
ε
ρϕ
µεϕ
−=
∂
∂
−∆
t
è (16.3)
j
t
A
A
r
r
r
0
2
2
00
µµε
−=
∂
∂
−∆
.
Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïðèäàòü êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ
(16.2) è óðàâíåíèÿì Äàëàìáåðà (16.3) 4
-õ
-ìåðíóþ ôîðìó çàïèñè.
Ââåäåì 4
-õ
-ìåðíûé âåêòîð
Φ
r
ñ êîìïîíåíòàìè:
,,,,
4321
ϕ
c
i
AAA
zyx
=Φ=Φ=Φ=Φ
(16.4)
âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòàìè Ìèíêîâñêîãî (9.1):
x
1
=x, x
2
=y, x
3
=z, x
4
=ict, (9.1)
è ââåäåì åùå îäèí 4
-õ
-ìåðíûé âåêòîð:
j
1
=j
x
, j
2
=j
y,
j
3
=j
z
, j
4
=ic
ρ
. (16.5)
Òîãäà è êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå (16.2), è óðàâíåíèÿ
Äàëàìáåðà (16.3) çàïèøóòñÿ â èíâàðèàíòíîé 4
-õ
-ìåðíîé ôîðìå òàê:
0
4
4
3
3
2
2
1
1
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
xxxx
(16.6)
k
kkkk
j
xxxx
0
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
µ
−=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
, (16.7)
 óðàâíåíèè (16.7) ôàêòè÷åñêè çàïèñàíû 4 óðàâíåíèÿ, êîòîðûå
ïîëó÷àòüñÿ, åñëè èíäåêñó ê ïðèäàâàòü çíà÷åíèÿ ê=1, 2, 3, 4.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà âìåñòå ñ
êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì, ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ñàìèì
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôîðìóë
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Èíûìè ñëîâàìè,
çàêîíû ýëåêòðîäèíàìèêè îäèíàêîâû âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ
ñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
Âàæíûì â ýëåêòðîäèíàìèêå ÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êî-
òîðîãî èìååò ñëåäóþùèé âèä:
div
t
j
∂
∂
=
ρ
r
. (16.9)
Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ
îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â áåñêîíå÷íî ìàëîé
îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñ
ïëîòíîñòüþ
j
r
. Çíàê ìèíóñ ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà äîãîâîðåííîñòè,
ñ÷èòàòü òîê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí èñòåêàåò èç òî÷êè, â
áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè êîòîðîé ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå
îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ.
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå
ââåäåííûìè 4
-õ
-ìåðíûìè âåêòîðàìè
r
r
(õ
1
, x
z
, x
3
, x
t
) è
j
r
()
4321
,,,
jjjj
. Òîãäà óðàâíåíèå (16.9) â ÷åòûðåõìåðíîé ôîðìå
ìîæíî çàïèñàòü òàê:
,0
4
4
3
3
2
2
1
1
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
j
x
j
x
j
x
j
èëè
0
4
1
=
∂
∂
∑
=
i
i
i
x
j
. (16.9)
Ìû ïîëó÷èëè 4
-õ
-ìåðíóþ äèâèðãåíöèþ, ò. å. çàêîí ñîõðàíå-
íèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â 4
-õ
-ìåðíîé
çàïèñè, ÷òî ãîâîðèò îá èíâàðèàíòíîñòè ýòîãî çàêîíà. Êàê è ó
äðóãèõ 4
-õ
-ìåðíûõ âåêòîðîâ, êîìïîíåíòû 4
-õ
-ìåðíîãî âåêòîðà
ïëîòíîñòè òîêà
4321
,,,
jjjj
ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Çàïèøåì ýòè ôîðìóëû äëÿ
êîìïîíåíò âåêòîðà
:j
r
.
1
,,,
1
2
14
43322
2
41
1
ββ
−
′
+
′
=
′
=
′
=
−
′
−
′
=
j
c
v
ij
jjjjj
j
c
v
ij
j
(16.10)
óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò äëÿ îáîèõ ïîòåíöèàëîâ îäíîòèïíûé Âàæíûì â ýëåêòðîäèíàìèêå ÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ
âèä (÷òî è îïðàâäûâàåò ââåäåíèå ýòèõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé). ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êî-
Ýòè óðàâíåíèÿ è ïîëó÷èëè íàçâàíèå óðàâíåíèé Äàëàìáåðà. Äëÿ òîðîãî èìååò ñëåäóþùèé âèä:
âàêóóìà, îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä: r ∂ρ
div j = . (16.9)
∂ ϕ
2
ρ ∂t
∆ϕ − ε 0 µ 0 =− , Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ
∂t 2 ε0
îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â áåñêîíå÷íî ìàëîé
è (16.3)
îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñ
r r
r ∂ A
2 r
∆A − ε 0 µ 0 = −µ0 j . ïëîòíîñòüþ j . Çíàê ìèíóñ ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà äîãîâîðåííîñòè,
∂t 2 ñ÷èòàòü òîê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí èñòåêàåò èç òî÷êè, â
Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïðèäàòü êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè êîòîðîé ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå
(16.2) è óðàâíåíèÿì Äàëàìáåðà (16.3) 4-õ-ìåðíóþ ôîðìó çàïèñè. îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ.
r
Ââåäåì 4-õ-ìåðíûé âåêòîð Φ ñ êîìïîíåíòàìè: Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå
i ââåäåííûìè 4 -õ -ìåðíûìè âåêòîðàìè rr (õ 1 , x z , x 3 , x t ) è
Φ 1 = Ax , Φ 2 = Ay , Φ 3 = Az , Φ 4 = ϕ , (16.4) r
c j ( j1 , j2 , j3 , j4 ) . Òîãäà óðàâíåíèå (16.9) â ÷åòûðåõìåðíîé ôîðìå
âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòàìè Ìèíêîâñêîãî (9.1): ìîæíî çàïèñàòü òàê:
x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict, (9.1)
∂j1 ∂j2 ∂j3 ∂j4
è ââåäåì åùå îäèí 4-õ-ìåðíûé âåêòîð: + + + = 0,
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4
j1=jx, j2=jy, j3=jz, j4=ic ρ . (16.5)
Òîãäà è êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå (16.2), è óðàâíåíèÿ èëè
Äàëàìáåðà (16.3) çàïèøóòñÿ â èíâàðèàíòíîé 4-õ-ìåðíîé ôîðìå òàê: 4
∂j
∂Φ 1 ∂Φ 2 ∂Φ 3 ∂Φ 4 ∑ ∂xii = 0. (16.9)
+ + + =0 (16.6) i =1
∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4 Ìû ïîëó÷èëè 4-õ-ìåðíóþ äèâèðãåíöèþ, ò. å. çàêîí ñîõðàíå-
íèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â 4-õ-ìåðíîé
∂ 2Φ k ∂ 2Φ k ∂ 2Φ k ∂ 2Φ k
+ + + = − µ 0 jk , (16.7) çàïèñè, ÷òî ãîâîðèò îá èíâàðèàíòíîñòè ýòîãî çàêîíà. Êàê è ó
∂x12 ∂x 22 ∂x 32 ∂x 42
äðóãèõ 4-õ-ìåðíûõ âåêòîðîâ, êîìïîíåíòû 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà
 óðàâíåíèè (16.7) ôàêòè÷åñêè çàïèñàíû 4 óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ïëîòíîñòè òîêà j1 , j2 , j3 , j4 ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé
ïîëó÷àòüñÿ, åñëè èíäåêñó ê ïðèäàâàòü çíà÷åíèÿ ê=1, 2, 3, 4.
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Çàïèøåì ýòè ôîðìóëû äëÿ
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà âìåñòå ñ r
êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì, ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ñàìèì êîìïîíåíò âåêòîðà j :
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôîðìóë v v
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Èíûìè ñëîâàìè, j1′ − ij4′ j4′ + i j1′
j1 = c , j2 = j2′ , j3 = j3′ , j4 = c .
çàêîíû ýëåêòðîäèíàìèêè îäèíàêîâû âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ (16.10)
ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. 1− β 2 1− β 2
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