ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
110
111
↑↑
−
=
−
m
c
u
m
2
3
2
2
1
,
òî âíåøíå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò êëàññè÷åñêóþ
ôîðìó (â ýòîì è ñìûñë ââåäåíèÿ âåëè÷èíû
↑↑
m
):
Fam
êë
r
r
=
↑↑
.
Âåëè÷èíó
↑↑
m
èíîãäà â ëèòåðàòóðå íàçûâàþò ïðîäîëüíîé
ìàññîé, íî êàê è ïîïåðå÷íàÿ ìàññà, ïðîäîëüíàÿ ìàññà íå
äîëæíà ïîíèìàòüñÿ êàê ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë
èìååò òîëüêî èíâàðèàíòíàÿ ìàññà
.m
Îïðåäåëèì çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè òåëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ.
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òàê (çíàê âåêòîðà îïóñòèì â ñèëó
îäíîìåðíîñòè äâèæåíèÿ):
.,
1
1
00
2
2
2
3
2
2
m
F
aãäådta
c
u
du
èëèF
dt
du
c
u
m
==
−
=
−
−
Èíòåãðèðîâàíèå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó:
,
1
0
2
2
ta
c
u
u
=
−
, îòêóäà
.
1
2
0
+
=
c
ta
at
u
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè
∞→
t
ñêîðîñòü áóäåò ñòðåìèòüñÿ
ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, ðàâíîìó ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå ñ,
êàê è äîëæíî áûòü â ÑÒÎ.
§16. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè
Ïåðâûé ïîñòóëàò Ýéíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî âñå çàêîíû
ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Âûøå ìû ïîêàçàëè, êàê òðåáóåòñÿ
èçìåíèòü êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ìåõàíèêå, ÷òîáû
îíî îêàçàëîñü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðå-
îáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ ôîðìóë Ëîðåíöà.
À êàê îáñòîèò äåëî â äðóãèõ ðàçäåëàõ ôèçèêè? Çäåñü ó÷åíûõ
æäàëà óäèâèòåëüíàÿ óäà÷à. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñâîéñòâà
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà,
ñôîðìóëèðîâàííûå çà òðè äåñÿòèëåòèÿ äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ, îêàçàëèñü
èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ôîðìóë Ëîðåíöà. Ýòî îçíà÷àëî, ÷òî
ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ âî âñåõ ÈÑÎ
ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Íåâîçìîæíî, íàáëþäàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå
ïðîöåññû, îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè äâèæåíèå. Äëÿ
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ îêàçàëñÿ ñïðàâåäëèâûì ïðèíöèï
îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà (à íå Ãàëèëåÿ).
Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
∗
ìîæíî ïîêàçàòü
íåïîñðåäñòâåííî, íî ýòî î÷åíü ñëîæíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à.
Ìû èçáåðåì äðóãîé ïóòü, êîòîðûé íåîäíîêðàòíî áûë
ïðîèëëþñòðèðîâàí âûøå: íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ýëåêò-
ðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â 4-ìåðíîé èíâàðèàíòíîé ôîðìå.
Êàê ïîêàçûâàåòñÿ â êóðñå ýëåêòðîäèíàìèêè, óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà ìîæíî çàìåíèòü áîëåå óäîáíûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèÿìè Äàëàìáåðà, ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
t
A
gradE
∂
∂
−−=
r
r
ϕ
è (16.1)
.ArotB
r
r
=
 ñèëó ãðàäèåíòíîé íåîäíîçíà÷íîñòè ââåäåíèÿ òàêèì îá-
ðàçîì ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëîâ, íà íèõ
íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíîå èëè êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå
Ëîðåíöà:
0
00
=
∂
∂
+
t
Adiv
ϕ
µε
r
(äëÿ âàêóóìà). (16.2)
Áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (16.2) óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäî-
âëåòâîðÿòü ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû, ñóùåñòâåííî
* § 16 ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ÷èòàòåëåé, çíàêîìûõ ñ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà.
3
îáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ ôîðìóë Ëîðåíöà.
−
u 2 2 À êàê îáñòîèò äåëî â äðóãèõ ðàçäåëàõ ôèçèêè? Çäåñü ó÷åíûõ
m1 − 2
= m↑↑ , æäàëà óäèâèòåëüíàÿ óäà÷à. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñâîéñòâà
c
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà,
òî âíåøíå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò êëàññè÷åñêóþ ñôîðìóëèðîâàííûå çà òðè äåñÿòèëåòèÿ äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ, îêàçàëèñü
ôîðìó (â ýòîì è ñìûñë ââåäåíèÿ âåëè÷èíû m↑↑ ): èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ôîðìóë Ëîðåíöà. Ýòî îçíà÷àëî, ÷òî
r r ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ âî âñåõ ÈÑÎ
m↑↑ a êë = F . ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Íåâîçìîæíî, íàáëþäàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå
Âåëè÷èíó m↑↑ èíîãäà â ëèòåðàòóðå íàçûâàþò ïðîäîëüíîé ïðîöåññû, îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè äâèæåíèå. Äëÿ
ìàññîé, íî êàê è ïîïåðå÷íàÿ ìàññà, ïðîäîëüíàÿ ìàññà íå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ îêàçàëñÿ ñïðàâåäëèâûì ïðèíöèï
äîëæíà ïîíèìàòüñÿ êàê ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà (à íå Ãàëèëåÿ).
èìååò òîëüêî èíâàðèàíòíàÿ ìàññà m. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ∗ ìîæíî ïîêàçàòü
Îïðåäåëèì çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè òåëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. íåïîñðåäñòâåííî, íî ýòî î÷åíü ñëîæíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à.
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òàê (çíàê âåêòîðà îïóñòèì â ñèëó Ìû èçáåðåì äðóãîé ïóòü, êîòîðûé íåîäíîêðàòíî áûë
îäíîìåðíîñòè äâèæåíèÿ): ïðîèëëþñòðèðîâàí âûøå: íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ýëåêò-
ðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â 4-ìåðíîé èíâàðèàíòíîé ôîðìå.
m du du F
=F èëè = a 0 dt, ãäå a 0 = . Êàê ïîêàçûâàåòñÿ â êóðñå ýëåêòðîäèíàìèêè, óðàâíåíèÿ
−
3 dt u2 m Ìàêñâåëëà ìîæíî çàìåíèòü áîëåå óäîáíûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé
u2 2 1 −
1 − c2 òî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèÿìè Äàëàìáåðà, ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíûå
c2
ôóíêöèè ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû ñëåäóþùèì
Èíòåãðèðîâàíèå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: îáðàçîì:
r
u at r ∂A
= a 0 t, u= . E = − gradϕ −
2 ∂t
u2 , îòêóäà a t
1− 1+ 0 è (16.1)
c2 c r r
B = rotA.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè t → ∞ ñêîðîñòü áóäåò ñòðåìèòüñÿ
 ñèëó ãðàäèåíòíîé íåîäíîçíà÷íîñòè ââåäåíèÿ òàêèì îá-
ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, ðàâíîìó ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå ñ,
ðàçîì ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëîâ, íà íèõ
êàê è äîëæíî áûòü â ÑÒÎ.
íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíîå èëè êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå
Ëîðåíöà:
§16. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè
r ∂ϕ
divA + ε 0 µ 0 = 0 (äëÿ âàêóóìà). (16.2)
Ïåðâûé ïîñòóëàò Ýéíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî âñå çàêîíû ∂t
ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Âûøå ìû ïîêàçàëè, êàê òðåáóåòñÿ Áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (16.2) óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäî-
èçìåíèòü êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ìåõàíèêå, ÷òîáû âëåòâîðÿòü ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû, ñóùåñòâåííî
îíî îêàçàëîñü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðå-
* § 16 ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ÷èòàòåëåé, çíàêîìûõ ñ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà.
110 111
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
