ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
178
179
Åùå áîëåå òî÷íûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà
÷èñëåííîãî ñîâïàäåíèÿ ãðàâèòàöèîííîé è
èíåðòíîé ìàññ áûë ðàçðàáîòàí âåíãåðñêèì
ôèçèêîì Ýòâåøåì (1848-1919). Â 1896 ã. îí
ïîêàçàë, ÷òî ýòè âåëè÷èíû ìîãóò îòëè÷àþòñÿ
äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10
-9.
 1959-
1963 ãã. àìåðèêàíñêèì ôèçèêîì Ð. Äèêå
òî÷íîñòü èçìåðåíèé áûëà óâåëè÷åíà äî 10
-11
, à
â 1971 ã. ñîâåòñêèå ôèçèêè Â.Ï. Áðàãèíñêèé è
Â.È. Ïàíîâ äîâåëè òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äî 10
-12
. Èäåÿ
ïîñëåäíèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíöèïèàëüíî áûëà îäèíàêîâà, à
ðàçëè÷àëèñü îíè ëèøü òî÷íîñòüþ, êîòîðóþ äàâàëè ïðèáîðû
íàáëþäåíèÿ.
Îïèøåì ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó ïîñëåäíèõ îïûòîâ. Ðàññìàò-
ðèâàÿ òåëî, íàõîäÿùååñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ìû íå ó÷èòûâà-
ëè äî ñèõ ïîð âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã ñâîåé îñè. Ðàññìàòðèâàÿ
îïûò â ñèñòåìå îòñ÷åòà Çåìëÿ, ìû äîëæíû ó÷åñòü ïîìèìî ñèëû
òÿæåñòè , íàïðàâëåííîé ê öåíòðó Çåìëè è ðàâíîé
2
/
RMmGF
çãã
⋅=
,
åùå öåíòðîáåæíóþ ñèëó
⊥
=
rmF
èöá
2
ω
, íàïðàâëåííóþ ïî ïåðïåí-
äèêóëÿðó ê îñè âðàùåíèÿ
Çåìëè. Åñëè òåëî íå íàõîäèò-
ñÿ íà ýêâàòîðå, òî ýòè äâå
ñèëû íå äåéñòâóþò ïî îäíîé
ïðÿìîé (ñì. ðèñ.5). Âàæíî
îòìåòèòü, ÷òî ñèëà òÿãîòå-
íèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ãðà-
âèòàöèîííîé ìàññå m
ã
, â òî
âðåìÿ êàê öåíòðîáåæíàÿ
ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà èíåðòíîé ìàññå m
è
. Ïîýòîìó, åñëè îòíî-
øåíèå
èã
mm /
äëÿ ðàçíûõ òåë ðàçëè÷íî, òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ F
ã
è F
öá
äëÿ ðàçíûõ òåë áóäåò èìåòü ðàçíîå íàïðàâëåíèå.
 îïûòå Ýòâåøà (ñì. ðèñ.6) íà äëèííîé òîíêîé íèòè ïîäâå-
øèâàëñÿ ñòåðæåíü, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèêðåïëÿëèñü ãðóçû 1 è
2, èçãîòîâëåííûå èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ. Ñòåðæåíü óñòàíàâ-
êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ îäíîé è òîé æå äëèíîé
íèòè, ê êîòîðîé ïîäâåøèâàëèñü ãðóçû ðàçíîé ìàññû. Â ñèëó
âàæíîñòè îáñóæäàåìîé ïðîáëåìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî
ñóùíîñòü îïûòîâ Íüþòîíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìàÿòíèêàìè.
Êàê èçâåñòíî, ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìàÿòíèêà çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû ìàÿòíèêà è óñêîðåíèÿ
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
2
1
2
π=
g
l
T
. (5.6)
Ïîýòîìó ïðè îäèíàêîâîé äëèíå ìàÿòíèêîâ ðàçëè÷èå
ïåðèîäîâ êîëåáàíèÿ îçíà÷àëî áû ðàçëè÷èå óñêîðåíèé ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òåë.
Ôîðìóëà (5.6) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé. Òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ
ïåðèîäà ìàëûõ êîëåáàíèé äàåòñÿ ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà. Ïðè ìàëûõ àìï-
ëèòóäàõ êîëåáàíèÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ òàê:
()
,sin
2
2
αα
α
gmgm
dt
ld
m
ããè
−=−=
(5.7)
ãäå èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåííîå ñîîòíîøåíèå ïðè ìàëûõ óãëàõ
îòêëîíåíèÿ
α
:
αα
≈sin
.
Óðàâíåíèå (5.7) äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ èìååò
ñëåäóþùåå ðåøåíèå:
è
ã
m
m
g
l
T
π
2=
. (5.8)
Òàê êàê èç îïûòîâ Íüþòîíà ñëåäîâàëî, ÷òî ïåðèîä êîëåáà-
íèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó (5.6), òî ýòî
îçíà÷àëî, ÷òî îòíîøåíèå
è
ã
m
m
ðàâíî 1.
Îïûòû Íüþòîíà ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ïîêàçàëè, ÷òî g îäèíàêîâî
äëÿ âñåõ òåë â äàííîì ìåñòå Çåìëè. Îäíîâðåìåííî ìû ïîëó÷èëè íå-
ïîñðåäñòâåííîå ïîäòâåðæäåíèå ñîâïàäåíèÿ èíåðòíîé è ãðàâèòàöè-
îííîé ìàññ ó âñåõ òåë (íåçàâèñèìî îò ìåñòîíàõîæäåíèÿ íà Çåìëå).
Ðèñ.4.
gm
r
Ã
F
r
α
α
l
ω
⊥
r
y
x
⊥
ω=
rmF
2
èöá
2
R
Mm
GF
çã
ã
=
Ðèñ. 5.
êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ îäíîé è òîé æå äëèíîé Åùå áîëåå òî÷íûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà
íèòè, ê êîòîðîé ïîäâåøèâàëèñü ãðóçû ðàçíîé ìàññû.  ñèëó ÷èñëåííîãî ñîâïàäåíèÿ ãðàâèòàöèîííîé è
âàæíîñòè îáñóæäàåìîé ïðîáëåìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî èíåðòíîé ìàññ áûë ðàçðàáîòàí âåíãåðñêèì α
ñóùíîñòü îïûòîâ Íüþòîíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìàÿòíèêàìè. ôèçèêîì Ýòâåøåì (1848-1919).  1896 ã. îí l
Êàê èçâåñòíî, ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîêàçàë, ÷òî ýòè âåëè÷èíû ìîãóò îòëè÷àþòñÿ r
ìàÿòíèêà çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû ìàÿòíèêà è óñêîðåíèÿ äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10-9.  1959- F
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: 1963 ãã. àìåðèêàíñêèì ôèçèêîì Ð. Äèêå α r
mà g
1 òî÷íîñòü èçìåðåíèé áûëà óâåëè÷åíà äî 10 , à-11
Ðèñ.4.
l 2 â 1971 ã. ñîâåòñêèå ôèçèêè Â.Ï. Áðàãèíñêèé è
T = 2π . (5.6) Â.È. Ïàíîâ äîâåëè òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äî 10-12. Èäåÿ
g
ïîñëåäíèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíöèïèàëüíî áûëà îäèíàêîâà, à
Ïîýòîìó ïðè îäèíàêîâîé äëèíå ìàÿòíèêîâ ðàçëè÷èå ðàçëè÷àëèñü îíè ëèøü òî÷íîñòüþ, êîòîðóþ äàâàëè ïðèáîðû
ïåðèîäîâ êîëåáàíèÿ îçíà÷àëî áû ðàçëè÷èå óñêîðåíèé ñâîáîäíîãî íàáëþäåíèÿ.
ïàäåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òåë. Îïèøåì ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó ïîñëåäíèõ îïûòîâ. Ðàññìàò-
Ôîðìóëà (5.6) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé. Òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ðèâàÿ òåëî, íàõîäÿùååñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ìû íå ó÷èòûâà-
ïåðèîäà ìàëûõ êîëåáàíèé äàåòñÿ ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëü- ëè äî ñèõ ïîð âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã ñâîåé îñè. Ðàññìàòðèâàÿ
íîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà. Ïðè ìàëûõ àìï-
îïûò â ñèñòåìå îòñ÷åòà Çåìëÿ, ìû äîëæíû ó÷åñòü ïîìèìî ñèëû
ëèòóäàõ êîëåáàíèÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ òàê:
òÿæåñòè , íàïðàâëåííîé ê öåíòðó Çåìëè è ðàâíîé Fã = G ⋅ mã M ç / R 2 ,
d 2 (lα )
mè = −mã g sin α = −mã gα , (5.7)
dt 2 åùå öåíòðîáåæíóþ ñèëó Föá = mèω 2 r⊥ , íàïðàâëåííóþ ïî ïåðïåí-
ãäå èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåííîå ñîîòíîøåíèå ïðè ìàëûõ óãëàõ äèêóëÿðó ê îñè âðàùåíèÿ
îòêëîíåíèÿ α : sinα ≈ α . Çåìëè. Åñëè òåëî íå íàõîäèò- ω y
Óðàâíåíèå (5.7) äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ èìååò ñÿ íà ýêâàòîðå, òî ýòè äâå Föá = mè ω2 r⊥
ñëåäóþùåå ðåøåíèå: ñèëû íå äåéñòâóþò ïî îäíîé
r⊥ x
ïðÿìîé (ñì. ðèñ.5). Âàæíî
l mã
T = 2π îòìåòèòü, ÷òî ñèëà òÿãîòå- mM
g mè . (5.8)
íèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ãðà-
Fã = G ã 2 ç
R
Òàê êàê èç îïûòîâ Íüþòîíà ñëåäîâàëî, ÷òî ïåðèîä êîëåáà- âèòàöèîííîé ìàññå mã, â òî
Ðèñ. 5.
íèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó (5.6), òî ýòî âðåìÿ êàê öåíòðîáåæíàÿ
mã
ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà èíåðòíîé ìàññå mè. Ïîýòîìó, åñëè îòíî-
îçíà÷àëî, ÷òî îòíîøåíèå m ðàâíî 1. øåíèå mã / mè äëÿ ðàçíûõ òåë ðàçëè÷íî, òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ Fã
è
Îïûòû Íüþòîíà ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ïîêàçàëè, ÷òî g îäèíàêîâî è Föá äëÿ ðàçíûõ òåë áóäåò èìåòü ðàçíîå íàïðàâëåíèå.
äëÿ âñåõ òåë â äàííîì ìåñòå Çåìëè. Îäíîâðåìåííî ìû ïîëó÷èëè íå-  îïûòå Ýòâåøà (ñì. ðèñ.6) íà äëèííîé òîíêîé íèòè ïîäâå-
ïîñðåäñòâåííîå ïîäòâåðæäåíèå ñîâïàäåíèÿ èíåðòíîé è ãðàâèòàöè- øèâàëñÿ ñòåðæåíü, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèêðåïëÿëèñü ãðóçû 1 è
îííîé ìàññ ó âñåõ òåë (íåçàâèñèìî îò ìåñòîíàõîæäåíèÿ íà Çåìëå). 2, èçãîòîâëåííûå èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ. Ñòåðæåíü óñòàíàâ-
178 179
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
