Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 122 стр.

                                                                               122
       Рассчитаем среднюю энергию колебаний всех структурных частиц
твердого тела, используя формулу Планка:
      ν макс                                     ν
              ⎛ 1     1 ⎞      hν           3Ns макс   hν 3
Е =     4πν 2 ⎜ 3 + 2 3 ⎟
        ∫                              dν = 3                  dν ∫
      0
              ⎜с
              ⎝ ↑↑   с ⊥ ⎟⎠ exp hν − 1     ν макс 0 exp hν − 1    . (*)
                                kT                      kT
     Убедимся, что полученная формула (*) содержит закон Дюлонга –
Пти, т.е. выполняется принцип соответствия. Условие перехода нами
было установлено ранее hν / kT << 1. Разлагая экспоненту в ряд Тейло-
ра и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем:
                                             ν макс
                                  3Ns
                                               ∫ν
                                                      2
                         Е =     3
                                        кТ                dν = NskT ,
                               ν макс          0


откуда, по определению,
                            dE
                             С= = Nsk = Const. ,
                            dT
а это и есть закон Дюлонга – Пти.
      Покажем, что в формуле (*) содержится и закон Дебая – изменение
                                                       3
энергоемкости при низких температурах пропорционально Т . Рассмот-
рим интеграл:
                   ν макс
                                  ν3
                     ∫            hν
                                            dν .
                                                                        (95)
                     0      exp        −1
                          kT
       Введем новую переменную:
         hν           kT           kT       hν макс
            = x ⇒ν =     x ⇒ dν =     dx. ,         = х макс ;
         kT            h            h         кТ
определим температуру Дебая следующим образом:
                                   hν макс = кТ Д ,
очевидно температура Дебая определяет ту температуру твердого
тела, при которой происходит возбуждение всех частот вплоть до
максимальной .
     Итак, опуская постоянные множители, вместо интеграла (95) по-
лучаем: