Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 27 стр.

                                                                      27
     Это уравнение носит название основного уравнения для равновесных
процессов в силу того, что оно используется при анализе всех равновесных
процессов в термодинамических системах, число частиц в которых неиз-
менно. Использование соотношения (44) позволяет ограничиться либо ка-
лорическим, либо лишь термическим уравнениями состояния. Дело в том,
что уравнение (44) устанавливает аналитическую связь между этими урав-
нениями. Покажем это для простейшей системы, находящейся под постоян-
ным внешним давлением(именно такую систему мы, в основном, и рассмат-
риваем в нашем курсе). Представим соотношение (44) так:

            dU p        1 ⎛ ∂U ⎞     1 ⎡ ⎛ ∂U ⎞      ⎤
      dS =      + dV = ⎜       ⎟ dT + ⎢⎜       ⎟ + p ⎥ dV ,(45)
             T   T      T ⎝ ∂T ⎠ V   T ⎣ ⎝ ∂ V ⎠ T   ⎦
где использовано соотношение (17).
      Так как энтропия является функцией состояния и, следовательно,
обладает полным дифференциалом, то соотношение (45) можно рассмат-
ривать как полный дифференциал этой функции от переменных Т и
р. Составим этот полный дифференциал:
                        ⎛ ∂S ⎞      ⎛ ∂S ⎞
                   dS = ⎜    ⎟ dT + ⎜    ⎟ dV .                (46)
                        ⎝ ∂T ⎠ V    ⎝ ∂V ⎠ T
     Сравнивая выражения (45) и (46), получаем:

                   ⎛ ∂S ⎞   1   ⎛ ∂U ⎞
                   ⎜    ⎟ =     ⎜    ⎟ ,
                   ⎝ ∂T ⎠ V T   ⎝ ∂T ⎠ V
                   ⎛ ∂S ⎞   1 ⎡ ⎛ ∂U ⎞     ⎤                   (47)
                   ⎜    ⎟ = ⎢⎜       ⎟ + p ⎥.
                   ⎝ ∂V ⎠ T T ⎣ ⎝ ∂V ⎠ T   ⎦
     Используя условие взаимности коэффициентов полного дифферен-
циала, составляем дифференциальное уравнение, связывающее калори-
ческое и термическое уравнения состояния:
                    ⎛ ∂p ⎞   ⎛ ∂U ⎞
                   T⎜    ⎟ =⎜     ⎟ +p.                        (48)
                    ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ T
     Применим формулу (48) для определения энергии идеального газа.
Воспользуемся еще термическим уравнением состояния этого газа, ка-
ковым является уравнение Клапейрона – Менделеева:
                               pV = RT .
Составим производную , стоящую слева в уравнении (48):