Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 74 стр.

                                                                                               74

                      ∂      ∂       ∂        ∂ρ
                        jx +    jy +    jz = − .
                     ∂x      ∂y      ∂z       ∂t
                    r    r
     Учитывая, что j = ρv , составляя производные от произведений и
группируя члены, получаем:

              ∂         ∂         ∂       ⎛ ∂v   ∂v y ∂v z ⎞       ∂ρ
         vx      ρ + vy    ρ + v z ρ + ρ ⎜⎜ x +       +     ⎟⎟ = −
              ∂x        ∂y        ∂z      ⎝  ∂ x  ∂ y   ∂ z  ⎠     ∂t
или

                    dρ       ⎛ ∂v   ∂v y ∂v z ⎞
                        + ρ ⎜⎜ x +      +     ⎟ = 0,
                     dt      ⎝  ∂ x  ∂y   ∂z ⎟⎠
где первый член – полная производная по времени, он получается, если
соединить правую часть с первыми тремя членами слева.
     Обобщим это выражение на 6N – мерное фазовое пространство, в
котором обобщенными координатами являются 3N пространственных
координат и 3N проекций импульсов всех N частиц:

      dρ         ⎛ ∂q&      ∂q&       ∂q&             ∂p&     ∂p&       ∂p&         ⎞
      dt
         +ρ   ∑ ⎜⎜ ∂q1111 + ∂q1212 + ∂q1313 + .... + ∂p1111 + ∂p1212 + ∂p1313 + ....⎟⎟ = 0 ,
                 ⎝                                                                  ⎠
или
                                  N ,3 ⎛ &⎞
                         dρ                 ∂q      ∂p&
                            + ρ ∑ ⎜ i,k + i,k
                                          ⎟=0,              (9)
                                          ⎜
                                          ⎟
                         dt    i =1, k =1 ⎝ ∂qi , k
                                          ⎠         ∂pi , k
где первый индекс соответствует номеру частицы, а второй – проекции
на три оси координат- x,y,z, точка над обобщенной координатой сим-
волически обозначает скорость изменения этой обобщенной координа-
ты (напомним: у каждой частицы 6 обобщенных координат – 3 простран-
ственные координаты и 3 проекции импульса).
     Рассмотрим одну пару членов, стоящих под знаком суммы:
                         ∂q&ik ∂p& ik
                              +       .                                                 (10)
                         ∂qik ∂pik
     Считая рассматриваемую систему замкнутой (в этом случае ее энер-
гия остается постоянной и система может находиться в равновесии), для
описания движения ее частиц воспользуемся уравнениями Гамильтона: