Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

76
ветствующего системе, состоящей в статистическом равновесии. С другой
стороны, чем больше эта функция, тем вероятнее соответствующее состоя-
ние системы. Поэтому функция
ρ
называется также функцией статистичес-
кого распределения. Определяя равновесное состояние системы, функция
ρ
должна быть функцией сохраняющихся величин данной системы, нося-
щих название интегралов движения. Известно, что имеется 7 интегралов
движения: энергия, три проекции импульса системы и 3 проекции ее момен-
та импульса . Однако, выбором системы отсчета можно свести число интег-
ралов движения до одного (в этой СО физическое тело не движется поступа-
тельно и не
вращается). Таким образом, можно считать, что функция стати-
стического распределения является функцией только энергии.
Дадим этим рассуждениям математическое обоснование. Воспользу-
емся доказанной выше теоремой Лиувилля:
0=
d
t
d
ρ
. (12)
Предположим, что функция
ρ
является функцией энергии систе-
мы:
(
)
.Е
ρρ
= (15)
Раскроем выражение (12):
0............
11
11
11
11
=+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
t
p
pt
q
qt
t
t
ρρρ
(16)
Упростим задачу, будем рассматривать статическое состояние си-
стемы, т.е.
.0=
∂
∂
t
ρ
(17)
Тогда полная энергия системы есть ни что иное, как функция Га-
мильтона E=H и
(
)
.Н
ρρ
= Поэтому мы можем воспользоваться урав-
нениями Гамильтона:
.................;
11
11
11
11
q
p
H
p
q
H
&&
=
∂
∂
−=
∂
∂
(18)
и переписать (16) с учетом (17) так:
0..............
11
11
11
11
=+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
t
p
p
H
Ht
q
q
H
H
ρρ
(19)
Легко видеть, что каждая пара членов в (19) с учетом (18) равна 0.
                                                                              76
ветствующего системе, состоящей в статистическом равновесии. С другой
стороны, чем больше эта функция, тем вероятнее соответствующее состоя-
ние системы. Поэтому функция ρ называется также функцией статистичес-
кого распределения. Определяя равновесное состояние системы, функция
 ρ должна быть функцией сохраняющихся величин данной системы, нося-
щих название интегралов движения. Известно, что имеется 7 интегралов
движения: энергия, три проекции импульса системы и 3 проекции ее момен-
та импульса . Однако, выбором системы отсчета можно свести число интег-
ралов движения до одного (в этой СО физическое тело не движется поступа-
тельно и не вращается). Таким образом, можно считать, что функция стати-
стического распределения является функцией только энергии.
     Дадим этим рассуждениям математическое обоснование. Воспользу-
емся доказанной выше теоремой Лиувилля:
                  dρ
                     =0 .                                (12)
                  dt
      Предположим, что функция ρ является функцией энергии систе-
мы:
                    ρ = ρ (Е ).                                        (15)
      Раскроем выражение (12):
                    ∂ρ ∂t   ∂ρ ∂q11    ∂ρ ∂p11
                          +         +          + ............ = 0      (16)
                    ∂t ∂t ∂q11 ∂t     ∂p11 ∂t
     Упростим задачу, будем рассматривать статическое состояние си-
стемы, т.е.
                   ∂ρ
                       = 0.                                 (17)
                    ∂t
      Тогда полная энергия системы есть ни что иное, как функция Га-
мильтона E=H и ρ = ρ (Н ). Поэтому мы можем воспользоваться урав-
нениями Гамильтона:
                    ∂H                 ∂H
                         = − p& 11 ;        = q&11 .................   (18)
                    ∂q11               ∂p11
и переписать (16) с учетом (17) так:
                    ∂ρ ∂H ∂q11 ∂ρ ∂H ∂p11
                               +            + .............. = 0       (19)
                    ∂H ∂q11 ∂t   ∂H ∂p11 ∂t
      Легко видеть, что каждая пара членов в (19) с учетом (18) равна 0.

Страницы