Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 83 стр.

                                                                                          83

                                                                             N
                     ⎛ ∑ p ik2    ⎞ ⎛           ⎛ pi2                     ⎞⎞
               ∫ exp⎜⎜ − 2mΘ (dP)⎟⎟ = ⎜⎜ ∫ exp⎜⎜⎝ − 2mΘ dpi1dpi 2 dpi 3 ⎟⎟⎠ ⎟⎟ .
                     ⎝            ⎠ ⎝                                        ⎠
     Перейдем к сферическим координатам:
                   dpi1dpi 2 dpi 3 = pi2 dpi sin θ dθ dϕ .
     В силу изотропности пространства можно произвести интегриро-
вание по углам:
      ∞ π 2π                                   ∞
                ⎛ pi2 2                 ⎞           ⎛ p2           ⎞
      ∫∫   ∫ ⎜⎝ 2mΘ i i
             exp⎜−    p dp sin θ dθ d ϕ ⎟
                                        ⎟
                                        ⎠
                                          = 4π ∫ exp⎜ − i p i2 dpi ⎟ =
                                                    ⎜ 2mθ
                                                    ⎝
                                                                   ⎟
                                                                   ⎠
      00   0                                   0

                                                        3
                                           = (2π mΘ ) 2 ,
где использовано значение несобственного интеграла Пуассона.
     Составим полное выражение статистического интеграла идеаль-
ного газа:
                                                   3
                           Z ид = V N (2πmΘ) 2 N .                                 (31)


               Расчет средней энергии идеального газа

     Предварительно получим формулу для расчета среднего значения
любой физической величины. Пусть некая физическая величина х при-
нимает ряд дискретных значений х1 , х 2 , х 3 .....х к , причем значение х1
искомая величина принимает при измерениях ее n1 раз, значение х 2 -
соответственно n 2 раза и т.д. Среднее значение искомой величины оп-
ределим формулой:

                        x1n1 + x 2 n 2 + x 3n 3 + ....... + x k n k
                x=                                                  =
                             n1 + n 2 + n 3 + ....... + n k
                    n1     n       n                  n                            (32)
                =      x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + ........ + k x k = ∑ xiWi ,
                    N       N       N                  N       i


         ni
  Wi =      по определению вероятность измерения i -го значения вели-
         N
чины x , N = ∑ ni .
                    i