Методы моделирования теплоэнергетических процессов. Ртищева А.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
3. Общие вопросы построения разностных методов решения
дифференциальных уравнений
Очень многие теплоэнергетические задачи теоретического характера
сводятся к решению дифференциальных уравнений. Универсальным
численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем
является разностный метод, называемый также методом конечных разностей
или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области
изменения переменных величин вводят некоторую сетку, а все производные,
входящие в дифференциальные уравнения и условия однозначности, заменяют
алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Решая
полученную в результате такой замены систему алгебраических уравнений,
называемую разностными уравнениями или разностной схемой, находят
приближенные значения функции в узлах сетки. Таблица этих значений и
принимается за решение исходной задачи.
Рассмотрим пример построения разностной схемы для дифференциального
уравнения первого порядка вида
()
y,xf
dx
dy
= .
(1)
Заменим область непрерывного изменения аргумента дискретным
множеством точек (вводим сетку)
xix
i
∆
=
,
(2)
где ∆
x – шаг сетки.
Производную в уравнении (1) заменим отношением конечных разностей и
получаем разностное уравнение вида
()
ii
ii
y,xf
x
yy
=
∆
−
+1
,
(3)
или
(
)
iiii
y,xxfyy
∆
−
=
+1
.
(4)
С помощью соотношения (4) можно последовательно найти все значения
y
i
, и таким образом получить решение поставленной задачи.
Следует отметить, что для одного и того же дифференциального уравнения
могут быть построены различные разностные схемы. Например, уравнение (1)
может быть аппроксимировано разностным уравнением вида
(
)
(
)
2
111 iiiiii
y,xfy,xf
x
yy
+
=
∆
−
+++
.
(5)
Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к
появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью
аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используют
понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок
p, если ее погрешность,
обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным,
пропорциональна шагу сетки в степени
p.

Страницы