Теоретические основы гидравлики и теплотехники. Ртищева А.С. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

130
В приложении к одномерной задаче о плоской стенке дифференциальное
уравнение энергии сводится к виду
2
2
x
a
∂
∂
=
∂
∂
θ
τ
θ
.
(14.11)
Граничные условия для обеих поверхностей при
δ
±
=
x
:
w
x
ст
x
αθ
θ
λ
δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
±=
m .
(14.12)
Начальное условие: при 0
=
τ
/
θ
θ
=
.
Решим задачу методом разделения переменных. Представим искомую
функцию
θ
в виде произведения переменных
(
)
τ
T и
(
)
xX , из которых первая
зависит только от времени, а вторая только от координаты:
TX
=
θ
. (14.13)
Дифференцируем это выражение
τ
τ
θ
d
dT
X=
∂
∂
;
dx
dX
T
x
=
∂
∂
θ
;
2
2
2
2
dx
Xd
T
x
=
∂
∂
θ
.
(14.14)
Подставив эти выражения в уравнение (14.11), получим
2
2
x
X
aT
d
dT
X
∂
∂
=
τ
,
(14.15)
или
2
2
2
111
β
τ
−=
∂
∂
=
x
X
Xd
dT
Тa
,
(14.16)
где
2
β
– постоянная разделения переменных.
Из выражения (14.16) получается два дифференциальных уравнения:
0
2
=+ Ta
d
dT
β
τ
;
(14.17)
0
2
2
2
=+
∂
∂
X
x
X
β
,
(14.18)
решения которых известны:
τβ
2
a
A
e
−
= ;
(14.19)
x
s
in
C
x
cos
B
X
β
β
+
= .
(14.20)
Эти формулы позволяют записать выражение (14.13) в виде
()
τβ
ββθ
2
21
a
exsinCxcosC
−
+= .
(14.21)
В силу симметрии температурного поля замена
x на –х не должна
отражаться на значении
θ
. Это условие выполняется при 0
2
=C и поэтому
решение уравнения (14.21) приводится к виду
xcoseC
a
βθ
τβ
2
1
−
= .
(14.22)

Страницы