Теоретические основы гидравлики и теплотехники. Ртищева А.С. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

26
Совокупность всех скоростей деформации можно представить в виде
матрицы M, которую называют тензором скоростей деформации:
z
w
y
w
z
w
x
w
z
w
z
w
y
w
y
w
x
w
y
w
z
w
x
w
y
w
x
w
x
w
M
zz
y
z
x
y
z
yy
x
x
z
x
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
==
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
εεε
εεε
εεε
; (3.15)
yxxy
ε
ε
= ;
zxxz
ε
ε
=
;
zyyz
ε
ε
=
.
(3.16)
Угловая скорость вращения частицы вокруг оси z представляет собой
изменение в единицу времени угла поворота d
ε
биссектрисы AE. Угол принято
считать положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки
и отрицательным – по часовой стрелки. С учетом принятой системы знаков:
4
1
π
εε
=+
′′
∠+ dEABd ;
(3.17)
4
2
π
εε
=−
′′
∠+ dEADd .
(3.18)
Так как
E
A
D
E
A
B
′′
∠
=
′
′
∠
, получаем
)
2
12
ε
ε
ε
dd
d
−
= .
(3.19)
Таким образом, угловая скорость
ω
z
будет равна
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
==
y
w
x
w
d
d
x
y
z
2
1
τ
ε
ω
.
(3.20)
Аналогично определяются угловые скорости
ω
x
и
ω
y
:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
z
w
y
w
y
z
x
2
1
ω
;
(3.21)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
x
w
z
w
z
x
y
2
1
ω
.
(3.22)
Вектор угловой скорости вращения
ω
r
можно выразить соотношением
zyx
kji
ωωωω
r
r
r
r
++= .
(3.23)
Вектор
ω
r
направлен по нормали к плоскости вращения. Удвоенное
значение вектора
ω
r
называют вихрем скорости и обозначают символом
Ω
r
.
Wro
t
r
r
=
Ω .
(3.24)
Ω=
r
r
2
1
ω
;
xx
Ω=
2
1
ω
;
yy
Ω=
2
1
ω
;
zz
Ω=
2
1
ω
.
(3.25)
Выразим скорости в произвольной точке 1 через скорости
поступательного, деформационного и вращательного движения. Для этого

Страницы