ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10.
∫
∈∀
+−
+
=
+
R. x
;Carcctgx
,Carctgx
x1
dx
2
1
2
11.
∫
∈∀+++=
+
,Rx ;C|1xx|ln
1x
dx
2
2
∫
+∞∪∞⊂∀+−+=
−
).(1,,-1)(-X :X ,C|1xx|ln
1x
dx
2
2
12.
∫
⊄∀+
−
+
=
−
.X 1} {-1, :X ,C
x1
x1
ln
2
1
x1
dx
2
13.
.Rx ,Cchxdxshx ∈∀+=
∫
14.
.R x ,Cshxсhxdx
∫
∈∀+=
15.
∫
⊂∀+= .R X ,Cthx
x
ch
dx
2
16.
∫
∉⊂∀+−= .X0 :RX ,Ccthx
xsh
dx
2
Доказательство.
Формулы 1-10 непосредственно следуют из таблицы производных (см.
Раздел «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: таблица
производных).
Формул, аналогичных 11 и 12, в таблице производных нет, но они
могут быть легко доказаны дифференцированием.
Действительно,
(
)
=
+
⋅+⋅
++
=
′
++⋅
++
=
′
++
1x
x2
2
1
1
1xx
1
1xx
1xx
1
1xxln
22
2
2
2
(
)
,
1x
1
1x
x1x
1xx
1
1x
x
1
1xx
1
22
2
222
+
=
+
++
⋅
++
=
+
+⋅
++
= ∀ x ∈ R.
11
dx arctgx + C1 , 10. ∫ 1 + x 2 − arcctgx + C 2 ; ∀ x ∈ R. = dx 11. ∫ = ln | x + x 2 + 1 | +C ; ∀ x ∈ R , x2 + 1 dx ∫ = ln | x + x 2 − 1 | +C , ∀ X : X ⊂ (-∞ ,-1) ∪ (1,+∞ ). x2 − 1 dx 1 1+ x 12. ∫ 1 − x 2 2 ln 1 − x + C , ∀ X : {-1, 1} ⊄ X . = 13. ∫ shx dx = chx + C , ∀ x ∈ R . 14. ∫ сhxdx = shx + C , ∀ x ∈ R. dx 15. ∫ ch 2 x = thx + C , ∀ X ⊂ R. dx 16. ∫ sh 2 x = −cthx + C , ∀ X ⊂ R : 0∉ X. Доказательство. Формулы 1-10 непосредственно следуют из таблицы производных (см. Раздел «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: таблица производных). Формул, аналогичных 11 и 12, в таблице производных нет, но они могут быть легко доказаны дифференцированием. Действительно, ′ ln x + x 2 + 1 = 1 2 ( ′ ⋅ x + x2 +1 = 1 2 ) 1 ⋅ 1 + ⋅ 2 2 x 2 = x + x +1 x + x +1 x +1 = 1 ⋅ 1 + x = 1 ⋅ (x 2 +1 + x )= 1 , ∀ x ∈ R. x + x2 +1 2 2 x +1 x + x +1 x +12 2 x +1 11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »