Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

10.
∫
∈∀
+−
+
=
+
R. x
;Carcctgx
,Carctgx
x1
dx
2
1
2
11.
∫
∈∀+++=
+
,Rx ;C|1xx|ln
1x
dx
2
2
∫
+∞∪∞⊂∀+−+=
−
).(1,,-1)(-X :X ,C|1xx|ln
1x
dx
2
2
12.
∫
⊄∀+
−
+
=
−
.X 1} {-1, :X ,C
x1
x1
ln
2
1
x1
dx
2
13.
.Rx ,Cchxdxshx ∈∀+=
∫
14.
.R x ,Cshxсhxdx
∫
∈∀+=
15.
∫
⊂∀+= .R X ,Cthx
x
ch
dx
2
16.
∫
∉⊂∀+−= .X0 :RX ,Ccthx
xsh
dx
2
Доказательство.
Формулы 1-10 непосредственно следуют из таблицы производных (см.
Раздел «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: таблица
производных).
Формул, аналогичных 11 и 12, в таблице производных нет, но они
могут быть легко доказаны дифференцированием.
Действительно,
(
)
=
+
⋅+⋅
++
=
′
++⋅
++
=
′
++
1x
x2
2
1
1
1xx
1
1xx
1xx
1
1xxln
22
2
2
2
(
)
,
1x
1
1x
x1x
1xx
1
1x
x
1
1xx
1
22
2
222
+
=
+
++
⋅
++
=
+
+⋅
++
= ∀ x ∈ R.
11
               dx     arctgx + C1 ,
     10.   ∫ 1 + x 2 − arcctgx + C 2 ; ∀ x ∈ R.
                    =


               dx
     11. ∫              = ln | x + x 2 + 1 | +C ; ∀ x ∈ R ,
               x2 + 1

                dx
           ∫             = ln | x + x 2 − 1 | +C , ∀ X : X ⊂ (-∞ ,-1) ∪ (1,+∞ ).
               x2 − 1

               dx     1 1+ x
     12.   ∫ 1 − x 2 2 ln 1 − x + C , ∀ X : {-1, 1} ⊄ X .
                    =


     13. ∫ shx dx = chx + C , ∀ x ∈ R .

     14. ∫ сhxdx = shx + C , ∀ x ∈ R.

               dx
     15.   ∫ ch 2 x = thx + C ,   ∀ X ⊂ R.


               dx
     16.   ∫ sh 2 x = −cthx + C ,    ∀ X ⊂ R : 0∉ X.


     Доказательство.

     Формулы 1-10 непосредственно следуют из таблицы производных (см.
Раздел «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: таблица
производных).

     Формул, аналогичных 11 и 12, в таблице производных нет, но они
могут быть легко доказаны дифференцированием.

     Действительно,



                  
                     ′
 ln x + x 2 + 1  =     1
                             2
                                        (  ′
                                ⋅ x + x2 +1 =
                                                  1
                                                    2
                                                      )    1
                                                      ⋅ 1 + ⋅
                                                           2
                                                                2 x 
                                                                2    
                                                                       =
                       x + x +1               x + x +1        x +1


=
       1     
           ⋅ 1 +
                             x  
                                =    1
                                           ⋅
                                                      (x   2
                                                               +1 + x   )=    1
                                                                                    , ∀ x ∈ R.
                               
  x + x2 +1                 2          2
                            x +1 x + x +1                 x +12             2
                                                                             x +1


                                                                                             11

Страницы