Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично,
(
)
=
−
⋅+⋅
−+
=
′
−+⋅
−+
=
′
−+
1x
x2
2
1
1
1xx
1
1xx
1xx
1
1xxln
22
2
2
2
1x
1
1x
x1x
1xx
1
1x
x
1
1xx
1
22
2
222
−
=
−
+−
⋅
−+
=
−
+⋅
−+
= ,
∀ X : X ⊂ (-∞, -1) ∪ (1, +∞).
=
−
+⋅−−−⋅
⋅
+
−
⋅=
′
−
+
⋅
+
−
⋅=
′
−
+
2
)x1(
)x1()1()x1(1
x1
x1
2
1
x1
x1
x1
x1
2
1
x1
x1
ln
2
1
.
x1
1
)x1()x1(
1
)x1(
2
x1
x1
2
1
22
−
=
−⋅+
=
−
⋅
+
−
⋅=
∀ X : X ⊂ (-∞, -1)∪(-1,1)∪(1, +∞).
Формулы 13-16 докажите самостоятельно, учитывая, что
.
shx
chx
cthx ,
chx
shx
thx,
2
ee
shx ,
2
ee
сhx
xxxx
==
−
=
+
=
−
−
Замечание.
В формуле 2 было сделано ограничение: х > 0, однако, если
таково, что
имеет смысл и для всех x ≤ 0, то формула справедлива на
любом интервале X ⊂ R.
α
α
x
Например,
∫
∈∀+= Rx ,C
5
x
dxx
5
4
.
Однако, для интеграла
∫
dx
x
1
4
уже нельзя записать подобную формулу,
справедливую для всей области определения:
∫
<+−
>+−
=
.0x,C
x3
1
;0x,C
x3
1
x
dx
2
3
1
3
4
12
Аналогично,



                  
                     ′
 ln x + x 2 − 1  =     1
                             2
                                         ( ′
                                ⋅ x + x2 −1 =
                                                  1
                                                    )
                                                    2
                                                           1
                                                      ⋅ 1 + ⋅
                                                           2
                                                                2 x 
                                                                2    
                                                                       =
                       x + x −1               x + x −1        x −1

          1               x       1      x2 −1 + x    1
=             ⋅ 1 +          =         ⋅           =      ,
                             
     x + x2 −1            2          2
                          x −1 x + x −1      2
                                            x −1        2
                                                       x −1

     ∀ X:      X ⊂ (-∞, -1) ∪ (1, +∞).


             ′                    ′
 1 1 + x  1 1 − x  1 + x  1 1 − x 1 ⋅ (1 − x ) − (−1) ⋅ (1 + x )
 ln        = ⋅       ⋅        = ⋅       ⋅                        =
 2  1 − x    2 1 + x   1 − x    2 1 + x     (1 − x ) 2



     1 1− x      2              1              1
=     ⋅     ⋅          =                   =        .
     2 1 + x (1 − x ) 2 (1 + x ) ⋅ (1 − x ) 1 − x 2

     ∀ X:       X ⊂ (-∞, -1)∪(-1,1)∪(1, +∞).

     Формулы 13-16 докажите самостоятельно, учитывая, что


            e x + e −x         e x − e −x         shx          chx
      сhx =            , shx =            , thx =     , cthx =     .
                2                  2              chx          shx


     Замечание. В формуле 2 было сделано ограничение: х > 0, однако, если
α таково, что x α имеет смысл и для всех x ≤ 0, то формула справедлива на
любом интервале X ⊂ R.
                          x5
     Например, ∫ x 4 dx =    + C, ∀ x ∈ R .
                          5
                                1
     Однако, для интеграла ∫ 4 dx уже нельзя записать подобную формулу,
                               x
справедливую для всей области определения:

                 1
                  −     + C1 , x > 0 ;
           dx  3x 3
         ∫ x4 =  1
                −      + C2 , x < 0.
                 3x 3

12

Страницы