Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 13 стр.

     4 Простейшие методы интегрирования


     4.1 Метод разложения


     Теорема 4.1

     Если     ∫ f i (x )dx = Fi (x ) + C i , C i ∈ R , i = 1, n на Х,
               n                    n
     то     ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i Fi (x ) + C ,        C ∈ R , α i ∈ R (α i ≠ 0 ), i = 1, n на Х.
              i =1                 i =1


     Доказательство.

Из следствия к свойствам неопределённого интеграла имеем, что

        n                    n
     ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i ∫ f i (x )dx + C 0 , C 0 ∈ R .
       i =1                 i =1


     Учитывая условие ∫ f i (x )dx = Fi (x ) + C i , C i ∈ R , i = 1, n , получаем

        n                    n              n
     ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i Fi (x ) +∑ α i C i + C 0 .
       i =1                 i =1           i =1

                                                        n
      Вводя новую постоянную С : С= ∑ α i C i + C 0 , имеем нужный результат:
                                                       i =1

        n                   n
     ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i Fi (x ) + C. Т.е. утверждение доказано.
       i =1                i =1



     Замечание. Теорема 4.1 лежит в основе метода «интегрирование
разложением», главная идея которого состоит в том, что подынтегральную
функцию представляют в виде линейной комбинации функций,
первообразные (неопределенные интегралы) которых уже известны (т.е.
можно воспользоваться таблицей интегралов) или легко определяются.




                                                                                                         13