Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Первые два примера, конечно, очень простые, они были приведены
здесь в качестве иллюстрации данного метода. Но даже они подсказывают,
что
таблицу неопределённых интегралов следует выучить наизусть, т.к. в
дальнейшем это облегчит процесс нахождения неопределённых
интегралов: вы научитесь сразу выделять слагаемые, первообразные
(неопределенные интегралы) от которых уже известны.
Чаще всего, прежде чем применять метод разложения требуется
предварительно преобразовать подынтегральное выражение
(и в этом
случае знание таблицы интегралов тоже не помешает: ведь нужно
преобразовать выражение так, чтобы интеграл считался, да и наиболее простым
способом).
Пример 4.3 Найти
∫
+ .dx)xx(
2
Решение.
Используя известную формулу сокращенного умножения
222
вав2а)ва( ++=+ ,
получим:
()
()
(
)
∫∫ ∫
=++=++=+ dxxx2xdxxxx2xdxxx
2322
2
.RX,C
2
x
x
5
4
3
x
C
2
x
25
x
2
3
x
2
5
32253
+
⊂∀+++=++⋅+=
Ответ:
∫
+ dx)xx(
2
.RX,C
2
x
x
5
4
3
x
2
5
3
+
⊂∀++⋅+=
Пример 4.4
Найти
∫
+−⋅+ .dx)1xx()1x(
Решение.
Используя формулу:
3322
ва)вава()ва( +=+−⋅+ ,
получаем:
()()
(
)
=++=+=+=+−⋅+
∫∫∫
Cx
25
x
dx1xdx)1)x((dx1xx1x
25
233
15
      Первые два примера, конечно, очень простые, они были приведены
здесь в качестве иллюстрации данного метода. Но даже они подсказывают,
что таблицу неопределённых интегралов следует выучить наизусть, т.к. в
дальнейшем это облегчит процесс нахождения неопределённых
интегралов: вы научитесь сразу выделять слагаемые, первообразные
(неопределенные интегралы) от которых уже известны.

     Чаще всего, прежде чем применять метод разложения требуется
предварительно преобразовать подынтегральное выражение (и в этом
случае знание таблицы       интегралов тоже не помешает: ведь нужно
преобразовать выражение так, чтобы интеграл считался, да и наиболее простым
способом).


     Пример 4.3 Найти ∫ ( x + x ) 2 dx.

     Решение.

     Используя известную формулу сокращенного умножения

                                     (а + в ) 2 = а 2 + 2ав + в 2 ,
     получим:


     ∫ (x +    )2       (                    )        (
              x dx = ∫ x 2 + 2 x x + x dx = ∫ x 2 + 2 x 3 2 + x dx =    )
         x3      x5 2 x2     x3 4      x2
     =      + 2⋅     +   +C=   +  x5 +    + C, ∀X ⊂ R + .
         3       52    2     3 5       2

                             x3 4      x2
     Ответ: ∫ ( x + x ) dx =2       5
                               + ⋅ x +    + C, ∀X ⊂ R + .
                             3 5       2


     Пример 4.4 Найти           ∫(   x + 1) ⋅ ( x − x + 1)dx.

     Решение.

     Используя формулу:
                                (а + в ) ⋅ (а 2 − ав + в 2 ) = а 3 + в 3 ,
     получаем:

     ∫(        )(               )                             (
          x + 1 ⋅ x − x + 1 dx = ∫ (( x ) 3 + 1)dx = ∫ x 3 2 + 1 dx =    )   x5 2
                                                                             52
                                                                                  +x+C=

                                                                                          15

Страницы