Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.7 Найти
∫
−
+−−
.dx
1x
1x1x
4
22
Решение.
При вычислении данного интеграла будем использовать алгоритм
решения примера 4.6 и известную формулу сокращенного умножения:
)ва()ва(ва
22
+⋅−=− .
()()
).,1()1,(X :X
,C
1xx
1xx
lnC1xxln1xxln
dx
1x
1
1x
1
dx
1x1x
1x1x
dx
1x
1x1x
2
2
22
2222
22
4
22
+∞∪−−∞⊂∀
+
−+
++
=+−+−++=
=
−
−
+
=
+⋅−
+−−
=
−
+−−
∫∫∫
Ответ: ).,1()1,(X :X ,C
1xx
1xx
ln
2
2
+∞∪−−∞⊂∀+
−+
++
Пример 4.8 Найти
∫
−
−
.dx
1x
2x
2
2
Решение.
В данном случае сначала преобразуем выражение в числителе дроби,
затем применим тот же алгоритм, что и при решении примеров 4.6 и 4.7:
(
)
{}
.X1 ;1 :X C
x1
x1
ln
2
1
x
dx
x1
1
1dx
1x
1
1dx
1x
11x
dx
1x
2x
222
2
2
2
∉−∀+
−
+
+=
=
−
+=
−
−=
−
−−
=
−
−
∫∫∫∫
Ответ:
{}
.X1 ;1 :X C
x1
x1
ln
2
1
x ∉−∀+
−
+
+
17
                                           x2 −1 − x2 +1
     Пример 4.7 Найти              ∫               4
                                                                dx.
                                                   x −1

     Решение.
     При вычислении данного интеграла будем использовать алгоритм
решения примера 4.6 и известную формулу сокращенного умножения:

                                           а 2 − в 2 = (а − в ) ⋅ (а + в ) .

            x2−1 − x2+1                       x2 −1 − x2 +1         1       1   
                                                                                dx =
       ∫                         dx = ∫                     dx = ∫        −
                   4
                 x −1                         (        )(
                                               x2 −1 ⋅ x2+1     )    2
                                                                    x +1
                                                                                 
                                                                            x2 −1

                                                                    x + x2 +1
           = ln x + x 2 + 1 − ln x + x 2 − 1 + C = ln                              + C,
                                                                               2
                                                                    x + x −1
     ∀ X:       X ⊂ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).


                            x + x2 +1
     Ответ:            ln                    + C, ∀ X :       X ⊂ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).
                                  2
                            x + x −1




                                          x2 − 2
     Пример 4.8 Найти              ∫ x 2 − 1 dx.
     Решение.

      В данном случае сначала преобразуем выражение в числителе дроби,
затем применим тот же алгоритм, что и при решении примеров 4.6 и 4.7:

         x2 − 2     x2 −1 −1 (       )  1             1                            
       ∫ x2 −1 ∫ x2 −1
               dx =         dx = ∫  x 2 − 1 ∫  1 − x 2
                                    1 −     dx =  1 +                              dx =
                                                                                      
              1 1+ x
         = x + ln     + C ∀ X : {− 1; 1}∉ X.
              2 1− x

                            1 1+ x
     Ответ: x +              ln    + C ∀ X : {− 1; 1}∉ X.
                            2 1− x



                                                                                              17

Страницы