Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.11 Найти
∫
+⋅
+
.dx
)x1(x
)x1(
2
2
Решение.
()
() ()
(
)
()
∫∫∫∫
=
+
+=
+⋅
++
=
+⋅
++
=
+⋅
+
dx
x1
2
x
1
dx
x1x
x2x1
dx
x1x
xx21
dx
x1x
x1
22
2
2
2
2
2
{
}
(
)
.0\RX,Carctgx2xln ⊂∀++=
Ответ:
{
}
(
)
.0\RX,Carctgx2xln ⊂
∀
++
Замечание. В некоторых случаях вычисление интегралов упрощается,
если применить
известные тригонометрические формулы.
Пример 4.12 Найти
∫
.xdxtg
2
Решение.
В данном случае, подынтегральное выражение легко представляется в
виде разности функций, первообразные (неопределенные интегралы) которых
известны, если применить основное тригонометрическое тождество:
1cosxsin
22
=
+
.
Действительно,
∫∫∫ ∫
+−=
−=
−
== ,Cxtgxdx1
xcos
1
dx
xcos
xcos1
dx
xcos
xsin
xdxtg
22
2
2
2
2
.XZn,n
2
:X ∉
∈π+
π
∀
Ответ: tgx – x + C, .XZn,n
2
:X ∉
∈π+
π
∀
19
                                                     (1 + x ) 2
     Пример 4.11                 Найти       ∫ x ⋅ (1 + x 2 ) dx.
     Решение.

        (1 + x )2                1 + 2x + x 2               (1 + x ) + 2xdx =  1 + 2
                                                                   2
                                                                                             
     ∫ x ⋅ (1 + x 2 )dx = ∫           (
                                    x ⋅ 1+ x   2
                                                   ) dx = ∫
                                                              x ⋅ (1 + x )
                                                                       2     ∫ x 1+ x   2   dx =
                                                                                             

     = ln x + 2arctgx + C, ∀X ⊂ (R \ {0}).

     Ответ: ln x + 2arctgx + C, ∀X ⊂ (R \ {0}).


      Замечание. В некоторых случаях вычисление интегралов упрощается,
если применить известные тригонометрические формулы.




                                          ∫ tg
                                                 2
     Пример 4.12 Найти                               xdx.

     Решение.

      В данном случае, подынтегральное выражение легко представляется в
виде разности функций, первообразные (неопределенные интегралы) которых
известны, если применить основное тригонометрическое тождество:

                                                       sin 2 x + cos 2 = 1 .

     Действительно,

                          sin 2 x            1 − cos 2 x       1       
     ∫ tg       xdx = ∫             dx = ∫             dx = ∫ 
            2
                             2                         2           2
                                                                     − 1dx = tgx − x + C,
                          cos x                  cos x         cos x 
          π            
     ∀X :  + πn , n ∈ Z ∉ X.
          2            

                               π            
     Ответ: tgx – x + C, ∀ X :  + πn , n ∈ Z ∉ X.
                               2            




                                                                                                     19

Страницы